Funkcja ζ

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomianowa
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

τ • σ • Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja dzeta Riemanna – jedna z funkcji specjalnych określona wzorem:

{\zeta}( z ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} \right)^z

Szereg ten jest zbieżny dla takich z, których część rzeczywista jest większa od 1.

Za pomocą metod analizy matematycznej pojęcie to daje się rozszerzyć na wszystkie liczby zespolone, poza z = 1.

Aby określić funkcję dzeta dla z o części rzeczywistej mniejszej od 1 można posłużyć się wzorem:

{\zeta}( z ) = 2^z \pi^{z-1} \sin\left(\frac{\pi z}{2}\right) \Gamma ( 1 - z){\zeta}( 1 - z )

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Z funkcją dzeta związany jest jeden z najważniejszych problemów współczesnej matematyki – Hipoteza Riemanna.

Spis treści

[edytuj] Wykres funkcji ζ(x)

Zeta plot.gif

[edytuj] Ważne wzory związane z funkcją ζ

Związek funkcji dzeta z liczbami pierwszymi:

{\zeta}( z ) = \prod_p \frac{1}{1-p^{-z}} \left(Re(z)>1\right)

gdzie p oznacza ciąg kolejnych liczb pierwszych.

Związek z liczbami Bernoulliego:

{\zeta}( 2n ) = \left(-1\right)^{n+1} \frac{B_{2n}\left(2\pi\right)^{2n}}{2\left(2n\right)!}

dla każdej liczby parzystej dodatniej 2n, gdzie Bk to k-ta liczba Bernoulliego. Ponadto dla liczb całkowitych ujemnych − n:

{\zeta}( -n ) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}

Zatem funkcja ζ znika dla każdej ujemnej liczby parzystej.

Związki z funkcjami teorioliczbowymi:

\ln \zeta(z)=z\int_2^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^z-1)}dx

gdzie π(x) to funkcja pi określająca liczbę liczb pierwszych nie większych od x.

\zeta^2(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\tau(n)}{n^z}

gdzie τ(n) to funkcja tau określająca liczbę dzielników liczby n.

[edytuj] Niektóre wartości

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \ldots = \frac{\pi^8}{9450}

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%B6”