Funkcja

Funkcja f(łac. function-, functio, „wykonanie”, od fungi, „wykonać, wypełnić, zwolnić”; być może spokr. z sanskr. bhuṅkte, „używa, cieszy się” - dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół:

$f\colon X \to Y$.

Zbiór X nazywa się dziedziną, a zbiór Y – przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru X do zbioru Y oznacza się często $Y^X\;$. Ponadto:

• dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,
• przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji,
• każdy element x zbioru X nazywa się argumentem funkcji ,
• każdy element y = f(x) nazywa się wartością funkcji ,
• mówi się także, że f jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y,
• zbiór $f(A) = \{y = f(x)\colon x \in A \}$ jest obrazem podzbioru A zbioru X w przekształceniu f,
• dla każdego elementu $b \in f(X)$ przeciwobrazem elementu b (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór $f^{-1}(b) = \{ a \in X\colon f(a) = b \}$; jeśli $b \notin f(X)$, to $f^{-1}(b) = \varnothing$.
• przeciwobrazem podzbioru $B \subset Y$ nazywamy zbiór $f^{-1}(B) = \{ a \in X\colon f(a) \in B \}$; jeżeli $B \cap f(X) = \varnothing$, to $f^{-1}(B) = \varnothing$

Wykres funkcji

Wykresem funkcji $f\colon X \to Y$ nazywa się zbiór $W_f = \{(x, y) \in X \times Y: y = f(x)\}$. Z definicji funkcji wynika, że dla każdego $x_0 \in X\;$ istnieje dokładnie jeden taki $y_0 \in Y\;$, że $(x_0, y_0) \in W_f$. Jeśli $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli $(x_0, y_0) \in W_f$, to $y_0 = f(x_0)\;$, przy czym $y_0\;$ jest jedynym takim elementem.

Definicja Peano funkcji (za pomocą wykresu)

W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peano :

Relacja $R \subset X \times Y$ jest funkcją, jeśli:

$\forall_{x \in X} \exist_{y \in Y} x R y$,

$\forall_{x \in X, y_1, y_2 \in Y} [x R y_1 \wedge x R y_2 \Rightarrow (y_1 = y_2)]$.

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe

Ważną klasą funkcji są funkcje

$f \colon X \to \mathbb{C}$ (zbiór $\mathbb{C}$ jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze X można zdefiniować działania arytmetyczne:

• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f + g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) + g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f - g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) - g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ funkcja f · g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) · g(x).
• Dla $f, g \colon X \to Y$ i $\forall_{x \in X} g(x) \neq 0$ funkcja f : g przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość f(x) : g(x).
• Dla $f \colon X \to Y$ i $\lambda \in \mathbb{C}$ funkcja λ · f przyjmuje dla każdego $x \in X$ wartość λ · f(x).

Funkcja f jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia M, że dla każdego $x \in X$ spełniona jest nierówność | f(x) | < M.

Jeśli funkcja liczbowa f przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste

$f \colon X \to \mathbb{R}$,

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:

$f \colon X \to \mathbb{C}$, gdzie $X \subset \mathbb{C}$ (jest to funkcja zespolona)

$f \colon X \to \mathbb{R}$, gdzie $X \subset \mathbb{R}$ (jest to funkcja rzeczywista)

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):

$f \colon X \to \mathbb{C}$, gdzie $X \subset \mathbb{C}^{n} = \underbrace{\mathbb{C} \times \ldots \times \mathbb{C}}_{n}$,

$f \colon X \to \mathbb{R}$, gdzie $X \subset \mathbb{R}^{n} = \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_{n}$,

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:

y = f (x₁, x₂, ..., x_n), gdzie x₁, ..., x_n są współrzędnymi punktu w $\mathbb{R}^{n}$ lub odpowiednio w $\mathbb{C}^{n}$.

Sposoby określania funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $\scriptstyle X$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $\scriptstyle Y.$ Dwóm różnym elementom w $\scriptstyle X$ może odpowiadać ten sam element $\scriptstyle Y.$ Nie każdy element zbioru $\scriptstyle Y$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina X jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu

Funkcja jako związek między zmiennymi

Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi x i y, gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru X, a druga przyjmuje wartości ze zbioru Y; wtedy x nazywa się zmienną niezależną, a y - zmienną zależną. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej x oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej y oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej x. Na przykład droga s w ruchu jednostajnym o prędkości v jest zależna od czasu t ruchu i wyraża się wzorem

s = v · t.

W praktyce często się zdarza, że zbiór X jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych x₁, ..., x_n. Mówimy wtedy, że zmienna y jest funkcją zmiennych x₁, ..., x_n. Na przykład siła F działająca na ciało jest zależna od masy m ciała i jego przyspieszenia a:

F = m · a.

Przykłady funkcji jako zależności między zmiennymi

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:

• ruch ciał fizycznych opisywany jest przez drogę s, prędkość v i przyspieszenie a, które są funkcjami czasu

$s =s_0 + v t\;$, $v = v_0 + a t\;$, $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ lub $s = s_0 + v t + \frac{at^2}{2}$

• z drugiej strony czas można rozpatrywać jako funkcję drogi (w ruchu jednostajnym),

$t = \frac{s}{v}$

• pojęcie siły F tak bardzo istotne w dynamice Newtona jest funkcją masy i przyspieszenia ciała; jest to zatem funkcja dwóch zmiennych,

$F = m a\;$

• praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała,

$W = F s\;$

• energia może być zależna od różnych wielkości; energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T

$E = \frac{mv^2}{2}$, $E = mgh\;$, $\Delta E = c m \Delta T\;$

• przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,

Pojęcia

Złożenie. Iteracja

Dwie funkcje $\scriptstyle f$ i $\scriptstyle g.$ Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mathrm a) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm b) =$ @
$(g \circ f)(\mathrm c) = \#$
$(g \circ f)(\mathrm d) =\ !!$

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\Big(f(x)\Big).$

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: n-tą iteracją funkcji f nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}.$

Funkcja różnowartościowa

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch $x_1, x_2 \in X$ zachodzi warunek

$x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2).$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5.$

Funkcja „na”

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina Y jest równocześnie jej zbiorem wartości. Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jeden taki $x \in X,$ że f(x) = y.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory X i Y mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$, którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie

Dla funkcji $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru $M \subseteq X$. Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y\;$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\;$ dla każdego $x \in M$. Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f.

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$, to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$.

Z drugiej strony, dla $M \subset X$, można przedłużyć funkcję $f\colon M \to Y$ zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję $g\colon X \to Y$. Można np. wymagać, by przedłużenie g funkcji f było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Funkcje w analizie

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej nazywa się każdą funkcję $f\colon X \to Y$ gdzie X,Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Podobnie definiuje się funkcję zespoloną zmiennej zespolonej żądając, by dziedzina i przeciwdziedzina były podzbiorami zbioru liczby zespolone. Funkcje te są rozważane głównie w działach analizy matematycznej: analizie rzeczywistej i analizie zespolonej.

Na takich funkcjach można wykonywać działania, o ile tylko x należy zarówno do dziedziny f jak i dziedziny g:

• $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
• (fg)(x) = f(x)g(x)
• $\left(\tfrac{f}{g}\right)(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ dla $g(x) \ne 0$

Matematycznym modelem zbioru funkcji z określonymi działaniami jest przestrzeń funkcyjna.

Rodzaje

Niektóre szczególne rodzaje funkcji:

• funkcje monotoniczne – wartości dla kolejnych argumentów są coraz większe, mniejsze, nie mniejsze, lub nie większe;
• funkcje ograniczone – zbiór wartości jest ograniczony;
• funkcje parzyste i nieparzyste – wykres jest symetryczny względem osi OY (dla funkcji parzystej) bądź początku układu współrzędnych (dla funkcji nieparzystej);
• funkcje okresowe – wartości „powtarzają się” co pewną ustaloną wartość nazwaną okresem;
• funkcje ciągłe – zachowujące bliskość argumentów (ich wykres można nakreślić „bez odrywania ołówka od kartki”);
• funkcje różniczkowalne – mające pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje jako struktury

Funkcje odgrywają ważną rolę w matematyce jako środki pomocnicze do tworzenia innych struktur (układów).

Przykład

Zapiszmy liczby 4,5,6,7 w tabeli $2 \times 2:$

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 7\\ \end{pmatrix}$

Taką tabelę można przedstawić w postaci funkcji, która przyporządkowuje każdemu miejscu w tabeli jedną z liczb. Poszczególne miejsca będą reprezentowane jako pary (i,j) oznaczające numer wiersza i kolumny:

$(2, 1) \mapsto 6$

Ogólnie każdą taką tabelę można zapisać w postaci funkcji

$\{(1, 1),\ (1, 2),\ (2, 1),\ (2, 2)\} \to \mathbb R,\quad (i,j )\mapsto a_{ij};$

wtedy będą znajdować się w niej liczby $a_{11},\ a_{12},\ a_{21}$ i $a_{22}\,$.

W taki sposób definiuje się obiekty takie jak ciągi i macierze. Należy pamiętać o różnicach w nomenklaturze: mimo że ciągi i macierze są funkcjami, to mówi się o „wyrazach” i „wskaźnikach”, a nie „wartościach” i „argumentach” ciągu, „elementach”, a nie „wartościach” macierzy.

Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, jednak pierwszą ogólną definicję funkcji podał dopiero w 1718 r. matematyk szwajcarski Johann Bernoulli.

Pełną definicję funkcji (jako przyporządkowania) pierwszy sformułował matematyk niemiecki Peter Gustav Lejeune Dirichlet w 1837 r. Dzisiaj pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki.

Bibliografia

• Kołmogorow, Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej. Moskwa: Mir, 1989.  (ros.)
• Kuratowski, Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1966. 
• Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967. 
• Winogradow: Encyklopedia matematyczna. T. 5. Moskwa: Encyklopedia Radziecka, 1985.  (ros.)

Zobacz też

• funkcja zdaniowa
• funkcja kardynalna
• rachunek lambda
• symbol funkcyjny