Funkcja Cobba-Douglasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcja produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928.

Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych:

 F(K,L) = aK^\alpha L^\beta, K,L\geqslant 0

gdzie K oznacza nakład kapitału, a L nakład pracy potrzebny do wytworzenia Y = F(K,L) jednostek produktu, a jest parametrem skalującym.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.

W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa α + β = 1[a] co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost K i L o 100% spowoduje wzrost Y także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość.

Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku α + β > 1 mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali.

W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa - to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem:

F(X_{1},X_{2},\ldots,X_{N}) = a\prod_{i=1}^{N} X_{i}^{\alpha_{i}}

określona dla X_{1},X_{2},\ldots,X_{N}\geqslant 0

Funkcja posiada następujące własności:

  1. jest nieujemna,
  2. jest rosnąca,
    a gdy \sum_{i=1}^{N} {\alpha_i} = 1
  3. funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. \forall z>0: F(zX_{1},zX_{2},\ldots,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\ldots,X_{N})

co daje stałe przychody względem skali produkcji.

Uwagi

  1. Nie jest to jednak warunek konieczny.
    Jeśli \scriptstyle \alpha + \beta \neq 1 wystarczy rozważyć funkcje
    f(z)=z^{\frac{1}{\alpha + \beta}}
    Funckja \scriptstyle f jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz
    F_1(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac{\alpha}{\alpha + \beta}}L^{\frac{\beta}{\alpha + \beta}}
    Ponad to suma wykładników daje jedynkę:
     \frac{\alpha}{\alpha + \beta} + \frac{\beta}{\alpha + \beta}=1