Funkcja Greena

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja Greena, propagator - funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego.

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George'a Greena.

Funkcje Greena w mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Rodzaje jednocząstkowych funkcji Greena[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnia się następujące typy funkcji

  • funkcja (określana czasem jako G większe)  iG^> = \langle \langle c_1 c_2^\dagger \rangle  \rangle
  • funkcja (określana czasem jako G mniejsze)  iG^< = \langle \langle c_1^\dagger c_2\rangle  \rangle

W powyższych wzorach operator  \mathrm T oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów,   \tilde \mathrm T oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory c_1^\dagger, c_2 oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej t=t_1-t_2, nawias  [.,.]_\pm oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast \langle \langle  . \rangle  \rangle jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Formalizm Matsubary dla funkcji Greena[edytuj | edytuj kod]

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik  \exp (-\beta \hat H), gdzie  \beta= \frac{1}{k_B T}, k_B jest stałą Boltzmana, T temperaturą  \hat H hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator  \hat H - jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik  \exp (\pm i \hat H)). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

  1. \beta jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości β;
  2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę (t=i\tau).

Metoda Matsubary[1] opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia i\omega_n\rightarrow\omega+i \delta dla funkcji retardowanej i\omega_n\rightarrow\omega-i \delta.

Przypisy