Funkcja Greena

Funkcja Greena, propagator – funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego.

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George’a Greena.

Funkcje Greena w mechanice kwantowej

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Rodzaje jednocząstkowych funkcji Greena

Wyróżnia się następujące typy funkcji:

• funkcja kauzalna (przyczynowa) $iG=\langle \langle \mathrm {T} (c_{1}c_{2}^{\dagger })\rangle \rangle ,$

• funkcja antykauzalna $iG=\langle \langle \mathrm {{\tilde {T}}(c_{1}c_{2}^{\dagger })} \rangle \rangle ,$

• funkcja retardowana $G=i\Theta (t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,$

• funkcja adwansowana $G=-i\Theta (-t)\langle \langle [c_{1},c_{2}^{\dagger }]_{\pm }\rangle \rangle ,$

• funkcja (określana czasem jako G większe) $iG^{>}=\langle \langle c_{1}c_{2}^{\dagger }\rangle \rangle ,$

• funkcja (określana czasem jako G mniejsze) $iG^{<}=\langle \langle c_{1}^{\dagger }c_{2}\rangle \rangle .$

W powyższych wzorach operator $\mathrm {T}$ oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów, ${\tilde {\mathrm {T} }}$ oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory $c_{1}^{\dagger },c_{2}$ oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej $t=t_{1}-t_{2},$ nawias $[.,.]_{\pm }$ oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast $\langle \langle .\rangle \rangle$ jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Formalizm Matsubary dla funkcji Greena

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik $\exp(-\beta {\hat {H}}),$ gdzie $\beta ={\frac {1}{k_{B}T}},$ $k_{B}$ jest stałą Boltzmana, $T$ temperaturą ${\hat {H}}$ hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator ${\hat {H}}$ – jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik $\exp(\pm i{\hat {H}})$). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

1. $\beta$ jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości $\beta ;$
2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę $(t=i\tau ).$

Metoda Matsubary opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia $i\omega _{n}\rightarrow \omega +i\delta$ dla funkcji retardowanej $i\omega _{n}\rightarrow \omega -i\delta .$

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.