Funkcja Greena

Funkcja Greena, propagator - funkcja stanowiąca jądro operatora całkowego, będącego odwrotnym do operatora różniczkowego w zwyczajnym bądź cząstkowym równaniu różniczkowym wraz z warunkami początkowymi lub brzegowymi.

Formalizm funkcji Greena pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do analogicznego problemu rozwiązania równania całkowego.

Funkcje nazwane są na cześć angielskiego matematyka i fizyka, George'a Greena.

Funkcje Greena w mechanice kwantowej

Szczególna rolę funkcje Greena odgrywają w mechanice kwantowej układów wielu cząstek i kwantowej mechanice statystycznej. Stanowią one standardowe narzędzie teorii układów wielu cząstek. Ich szczególna rola wynika stąd, że istnieją bezpośrednie relacje pomiędzy funkcjami Greena a wartościami mierzalnymi w eksperymentach, czyli wielkości obserwowane w doświadczeniach bardzo często stanowią prostą kombinację funkcji Greena.

Funkcje Greena stosowane w fizyce nazywa się często funkcjami korelacji.

Rodzaje jednocząstkowych funkcji Greena

Wyróżnia się następujące typy funkcji

• funkcja kauzalna (przyczynowa) $iG = \langle \langle \mathrm T (c_1 c_2^\dagger ) \rangle \rangle$

• funkcja antykauzalna $iG = \langle \langle \mathrm {\tilde T (c_1 c_2^\dagger )} \rangle \rangle$

• funkcja retardowana $G = i\Theta(t)\langle \langle[c_1,c_2^\dagger]_\pm\rangle \rangle$

• funkcja adwansowana $G = -i\Theta(-t)\langle \langle[c_1,c_2^\dagger]_\pm\rangle \rangle$

• funkcja (określana czasem jako G większe) $iG^> = \langle \langle c_1 c_2^\dagger \rangle \rangle$

• funkcja (określana czasem jako G mniejsze) $iG^< = \langle \langle c_1^\dagger c_2\rangle \rangle$

W powyższych wzorach operator $\mathrm T$ oznacza uporządkowanie chronologiczne operatorów, $\tilde \mathrm T$ oznacza uporządkowanie antychronologiczne, operatory $c_1^\dagger, c_2$ oznaczają zależne od czasu operatory kreacji i anihilacji cząstek (przy czym indeks 1,2 oznacza zależność od położenia lub pędu oraz czasu), czas w funkcjach retardowanej i adwansowanej $t=t_1-t_2$, nawias $[.,.]_\pm$ oznacza antykomutator/komutator odpowiednio dla fermionów/bozonów, natomiast $\langle \langle . \rangle \rangle$ jest wartością oczekiwaną, bądź odpowiednią dla rozważanego zagadnienia kwantową suma termodynamiczna.

Powyższe definicje nie są jedynymi możliwymi. Istnieje dużo konwencji, a przykłady te służą jedynie pokazaniu podstawowych różnic pomiędzy różnymi typami funkcji Greena.

Formalizm Matsubary dla funkcji Greena

Dla skończenietemperaturowych funkcji Greena (czyli dla układów, w których temperatury są nierówne zero) wprowadza się formalizm Matsubary. Funkcje Greena w skończonych temperaturach są kwantowymi średnimi termodynamicznymi, w których występuje dodatkowy czynnik $\exp (-\beta \hat H)$, gdzie $\beta= \frac{1}{k_B T}$, $k_B$ jest stałą Boltzmana, T temperaturą $\hat H$ hamiltonianem układu. Nie jest to jedyne miejsce, gdzie występuje operator $\hat H$ - jest on także obecny w ewolucji czasowej operatorów kreacji i anihilacji (czynnik $\exp (\pm i \hat H)$). Przy iloczynie tych czynników można byłoby je połączyć przyjmując, że

1. $\beta$ jest urojona i mamy do czynienia z ewolucją (poza zwykłą ewolucją czasową) dodatkową ewolucją w urojonym czasie o długości β;
2. traktujemy czas jako urojoną temperaturę ($t=i\tau$).

Metoda Matsubary opiera się na drugiej możliwości. Okazuje się, że wtedy jednocząstkowe funkcje Greena posiadają własności periodyczności/antyperiodyczności dla bozonów/fermionów. W związku z tym funkcje te można przedstawić przez szeregi Fouriera, w których zostają częstości nieparzyste/parzyste dla fermionów/bozonów. Wtedy obliczenie funkcji Greena sprowadza się do wykonania odpowiednich sum po częstościach.

Retardowane funkcje Greena otrzymujemy z funkcji w częstościach dokonując kontynuacji analitycznej, co sprowadza się do podstawienia $i\omega_n\rightarrow\omega+i \delta$ dla funkcji retardowanej $i\omega_n\rightarrow\omega-i \delta$.