Funkcja Mertensa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W teorii liczb funkcja Mertensa jest zdefiniowana przez:

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

gdzie μ(k) jest funkcją Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej k zachodzi \mu(k)\le 1, zatem M(n) \le n.

Nierówność

\left| M(n) \right| < \sqrt { n }

(przewidywana przez Mertensa) implikowałaby hipotezę Riemanna. Okazuje się jednak, że jest fałszywa; do dziś nie jest znany kontrprzykład, ale wiadomo, że znajduje się między 1014 a 3,21×1064. Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego \epsilon >0 wzoru

M(n) = O(n^{\frac{1}{2}+\epsilon}).

Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem +1 i -1, to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu.

Wzory[edytuj | edytuj kod]

\frac{1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^s}.
  • M(n) = \sum_{a \in \mathcal{F}_n} e^{2 \pi i a} , gdzie \mathcal{F}_n oznacza n-ty ciąg Fareya.
  • M(n) to wyznacznik n-tej macierzy Redheffera, w której a_{ij}=1, gdy j=1 lub i dzieli j, a pozostałe wyrazy są zerowe.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)