Funkcja Wanniera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje Wanniera stanowią zbiór zupełny funkcji ortogonalnych używany jako baza w fizyce ciała stałego. Pierwszy raz zostały zaproponowane przez G. Wanniera.[1]

Funkcje Wanniera dla różnych węzłów sieci w krysztale są do siebie wzajemnie ortogonalne, przez co stanowią wygodną bazę do rozwinięć perturbacyjnych, w szczególności stanowią podstawę modelu ciasnego wiązania.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcje Wanniera można zdefiniować na wiele różnych sposobów [2], przy czym oryginalna definicja [1], najczęściej używana w fizyce ciała stałego oparta jest o funkcje Blocha.

Wybierzmy pojedyncze pasmo w idealnym krysztale i oznaczmy funkcję falową dla stanu Blocha

\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})

gdzie \, u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) jest funkcją Blocha o periodyczności takiej samej jak sieć krystaliczna. Wtedy funkcje Wanniera definiujemy jako

\phi_{\mathbf{R}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}} \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}),

gdzie

  • R dowolnym wektorem sieci prostej (tzn. istnieje dokładnie jedna funkcja Wanniera dla każdego wektora Bavaisa);
  • N jest liczbą komórek prymitywnych w krysztale.
  • suma po k przebiega po wszystkich wartościach k w strefie Brillouina

Ze względu na to, że wartości k są rozłożone równomiernie w strefie Brillouina oraz N jest zwykle bardzo dużą liczba suma może zostać przybliżona przez całkę zgodnie z poniższą reguła

\sum_{\mathbf{k}} \longrightarrow \frac{N}{\Omega} \int_{BZ} d^3\mathbf{k}

gdzie BZ oznacza strefę Brillouina o objętości Ω.


Przypisy