Funkcja Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji Weisstrassa w przedziale [−2, 2]
Funkcja Weierstrassa z parametrami a = 0,5; b = 3 w przedziale [−0.2, 1.2].

Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne[edytuj | edytuj kod]

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie[2]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[3]. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

W oryginalnej publikacji[4], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),

gdzie a jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast b jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

ab>1+\tfrac{3}{2}\pi.

Wykres funkcji Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

Gdy ab > 1, to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

2+\frac{\log a}{\log b}.

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ab > 1) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona[edytuj | edytuj kod]

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja "sprzężenie", tj.

z\mapsto\overline{z}\,\;\; (z\in\mathbb{C}).
Wikimedia Commons

Przypisy

  1. P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37
  2. A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrête cette série à un terme quelconque. Journal de l'Ecole Polytechnique, 6, n°13 (1806), 148-181.
  3. B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
  4. K. Weierstraß, Abhandlungen aus der Functionenlehre. Julius Springer, Berlin 1886.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. 

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]