Funkcja Weierstrassa

Następująca wersja przejrzana tej strony, którą oznaczono 19 sty 2018, była oparta na tej wersji.

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale [−2, 2]

Funkcja Weierstrassa z parametrami a = 0,5; b = 3 w przedziale [−0.2, 1.2].

Funkcja Weierstrassa - pierwszy opublikowany^[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie^[2]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował^[3]. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

W oryginalnej publikacji^[4], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)

,

gdzie a jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast b jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

ab>1+{\tfrac {3}{2}}\pi

.

Wykres funkcji Weierstrassa

Gdy ab > 1, to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

2+{\frac {\log a}{\log b}}

.

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ab > 1) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja "sprzężenie", tj.

z\mapsto {\overline {z}}\,\;\;(z\in \mathbb {C} ).

Przypisy

↑ P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37
↑ A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrête cette série à un terme quelconque. Journal de l'Ecole Polytechnique, 6, n°13 (1806), 148-181.
↑ B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
↑ KarlK. Weierstrass KarlK., Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26] .

Bibliografia

O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne.
G. H. Hardy. Weierstrass's non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301-325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1.

Zobacz też

Funkcja Riemanna

Linki zewnętrzne

Funkcja Weierstrassa (ang.) w encyklopedii MathWorld

[1] P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, J. Reine Angew. Math. 79 (1875), 21–37

[2] A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrête cette série à un terme quelconque. Journal de l'Ecole Polytechnique, 6, n°13 (1806), 148-181.

[3] B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.

[4] KarlK. Weierstrass KarlK., Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26] .

[1]

[2]

[3]

[4]