Funkcja addytywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy własności funkcji o argumentach liczbowych. Zobacz też: addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywnafunkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Addytywność w algebrze i analizie[edytuj | edytuj kod]

Niech (K,+)\, oraz (L,+)\, będą grupami abelowymi.

  • Powiemy, że funkcja f:K\longrightarrow L\, jest addytywna jeśli
f(x+y)=f(x)+f(y)\, dla wszystkich x,y\in K\,.
O addytywnych funkcjach rzeczywistych f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}\, mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy'ego.
f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)\, dla wszystkich x,y\in K\,.
Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy (L,+)\, jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Addytywność w teorii liczb[edytuj | edytuj kod]

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja f: \mathbb N \to \mathbb N jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb m, n \in \mathbb N zachodzi

f(mn) = f(m) + f(n)\,.

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb m\, oraz n\,, to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

Przykładem funkcji całkowicie addytywnej jest \Omega (n) równa liczbie czynników w rozkładzie n na czynniki pierwsze. Przykładem funkcji addytywnej, ale nie całkowicie addytywnej, jest \omega (n) równa liczbie różnych liczb pierwszych dzielących n. Wszystkie monotoniczne funkcje addytywne są wielokrotnościami logarytmu. Jeśli f(n) jest funkcją multiplikatywną i dodatnią, to log(f(n)) jest funkcją addytywną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

 f\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right) = \sum_{i=1}^n f(x_i) dla wszystkich x_1, \ldots, x_n \in K, n \in {\mathbb N}.

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

  • Załóżmy, że funkcja addytywna f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R} spełnia jeden z następujących warunków:
(a) f\, jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie, lub
(b) f\, jest monotoniczna na pewnym przedziale, lub
(c) f\, jest ograniczona na pewnym przedziale.
Wówczas f(x)=f(1)\cdot x dla wszystkich x\in {\mathbb R} (to znaczy, f\, jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy'ego[1].

  • W 1905, Georg Hamel[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R} które nie są ciągłe.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Augustin Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique , 1. Analyse alg´ebrique, V.. Paris: 1821.
  2. Georg Hamel. Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f (x + y) = f (x) + f (y). „Math. Ann.”. 60, s. 459-462, 1905.