Funkcja błędu

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Wykres funkcji błędu

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomianowa
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako


\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2} dt.

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}
=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

dla każdego rzeczywistego x.

Dla |x| \ll 1 , wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(2n+1)!!} x^{2n+1}
=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \left(x+ \frac{2x^3}{1\cdot 3} + \frac{4x^5}{1\cdot 3 \cdot 5} + \frac{8x^7}{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots\right)

gdzie k!! oznacza silnię podwójną liczby k.

Dla |x| \gg 1 , wygodne jest następujące rozwinięcie

\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^n} x^{-(2n+1)}
= 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^3} + \frac{1\cdot 3}{4x^5} - \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{8x^7} + \cdots \right)


Funkcja \operatorname{erf} jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu \operatorname{erfc},

\operatorname{erfc}(x) \equiv 1 - \operatorname{erf}(x).

[edytuj] Tablica wartości

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921
0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149
0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949
0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516
0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095
0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095
0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096
0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777
0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795
0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628
0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432
0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885
0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070
0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360
0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343
0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750
0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411
0.85 0.7706681 0.2293319 3.0 0.9999779 0.0000221
0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116
0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060
1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031
1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015
1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007
Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_b%C5%82%C4%99du”
Utwórz książkę