Funkcja błędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji błędu
Wykres funkcji błędu (2)

Funkcja błędu Gaussafunkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

\text{erf}\left(x\right)={2\over\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}\,\mathrm dt

Funkcja \text{erf} jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu \text{erfc}:

\text{erfc}\left(x\right) \equiv1-\text{erf}\left(x\right)
={2\over\sqrt\pi}\int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt

Definiuje się także zespoloną funkcję błędu w\left(x\right), nazywaną także funkcją Faddiejewej:

w(x)=e^{-x^2}\text{erfc}\left(-ix\right)

Najważniejsze własności i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Funkcja błędu jest nieparzysta:

\text{erf}\left(z\right)=-\text{erf}\left(-z\right)

Ponadto należy zauważyć, że prawdziwe jest równanie:

\text{erf}\left(z^*\right)=\left(\text{erf}\left(z\right)\right)^*

gdzie z^* oznacza sprzężenie zespolone liczby z.

Dla osi rzeczywistej funkcja błędu przyjmuje następujące granice:

\text{erf}\left(\pm\infty\right)=\pm1

natomiast dla osi urojonej:

\text{erf}\left(\pm i\infty\right)=\pm i\infty

Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

{d\over dz}\text{erf}\left(z\right)={2\over\sqrt\pi}e^{-z^2}
F\left(x\right)=z\,\text{erf}\left(z\right)+{e^{-z^2}\over\sqrt\pi}

Szereg Taylora[edytuj | edytuj kod]

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

\text{erf}\left(x\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}
=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)

dla każdego rzeczywistego x.

Dla |x|\ll1, wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

\text{erf}\left(x\right) ={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\sum_{n=0}^\infty{2^n\over\left(2n+1\right)!!}x^{2n+1}
={2\over\sqrt\pi}e^{-x^2}\left(x+{2x^3\over1\cdot3}+{4x^5\over1\cdot3\cdot5}+{8x^7\over1\cdot3\cdot5\cdot7}+\cdots\right)

gdzie k!! oznacza silnię podwójną liczby k.

Dla |x|\gg1, wygodne jest następujące rozwinięcie

\text{erf}\left(x\right) =1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\sum_{n=0}^\infty{(-1)^n(2n-1)!!\over2^n}x^{-2n-1)}
=1-{e^{-x^2}\over\sqrt\pi}\left({1\over x}-{1\over2x^3}+{1\cdot3\over4x^5}-{1\cdot3\cdot5\over8x^7}+\cdots\right)

Tablica wartości[edytuj | edytuj kod]

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0.00 0.0000000 1.0000000 1.30 0.9340079 0.0659921
0.05 0.0563720 0.9436280 1.40 0.9522851 0.0477149
0.10 0.1124629 0.8875371 1.50 0.9661051 0.0338949
0.15 0.1679960 0.8320040 1.60 0.9763484 0.0236516
0.20 0.2227026 0.7772974 1.70 0.9837905 0.0162095
0.25 0.2763264 0.7236736 1.80 0.9890905 0.0109095
0.30 0.3286268 0.6713732 1.90 0.9927904 0.0072096
0.35 0.3793821 0.6206179 2.00 0.9953223 0.0046777
0.40 0.4283924 0.5716076 2.10 0.9970205 0.0029795
0.45 0.4754817 0.5245183 2.20 0.9981372 0.0018628
0.50 0.5204999 0.4795001 2.30 0.9988568 0.0011432
0.55 0.5633234 0.4366766 2.40 0.9993115 0.0006885
0.60 0.6038561 0.3961439 2.50 0.9995930 0.0004070
0.65 0.6420293 0.3579707 2.60 0.9997640 0.0002360
0.70 0.6778012 0.3221988 2.70 0.9998657 0.0001343
0.75 0.7111556 0.2888444 2.80 0.9999250 0.0000750
0.80 0.7421010 0.2578990 2.90 0.9999589 0.0000411
0.85 0.7706681 0.2293319 3.0 0.9999779 0.0000221
0.90 0.7969082 0.2030918 3.10 0.9999884 0.0000116
0.95 0.8208908 0.1791092 3.20 0.9999940 0.0000060
1.00 0.8427008 0.1572992 3.30 0.9999969 0.0000031
1.10 0.8802051 0.1197949 3.40 0.9999985 0.0000015
1.20 0.9103140 0.0896860 3.50 0.9999993 0.0000007

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]