Funkcja Β

Funkcja beta (Całka Eulera pierwszego rodzaju) — jedna z funkcji specjalnych zdefiniowana jako

$\mathrm B(x,y) = \int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad\mathrm{dla}\quad \Re(x), \Re(y) > 0$

Funkcja beta jest symetryczna

$\mathrm B(x,y) = \mathrm B(y,x)\;$

Można ją również przedstawić w inny sposób:

$\mathrm B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}$

$\mathrm B(x,y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad{\mathrm Re}(x)>0,\ {\mathrm Re}(y)>0$

$\mathrm B(x,y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad{\mathrm Re}(x)>0,\ {\mathrm Re}(y)>0$

$\mathrm B(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}\quad\mathrm{gdzie}\quad (x)_n=x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1)$

Zobacz też

• całka Eulera
• funkcja gamma
• teoria strun bozonowych