Funkcja całkowalna

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki. Jeżeli nie jest to sprecyzowane, to najczęściej ma się na myśli funkcje całkowalne w sensie Lebesgue'a; pozostałe zwykle są odpowiednio kwalifikowane, np. funkcja całkowalna w sensie Riemanna (tzn. istnieje całka Riemanna tej funkcji), czy w sensie Henstocka-Kurzweila itp.

Całkowalność a pierwotna

Choć funkcja może mieć funkcję pierwotną (całkę nieoznaczoną), to może nie być ona całkowalna. Przykładowo funkcja

$F(x) = \sin x\,$

jest pierwotną funkcji

$f(x) = \cos x\,$

ale funkcji f(x) nie uważa się za funkcję całkowalną na zbiorze liczb rzeczywistych. Może tak być nawet wtedy, gdy pierwotna ma granicę w każdym kierunku, jak np.

$F(x) = \frac{\sin x}{x}$ dla $x \geqslant 1,$

której pochodna

$f(x) = \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}$

nie jest całkowalna na przedziale od 1 do nieskończoności. Jest prawdą nawet, gdy przedział całkowania nie jest nieskończony; przykładem może być pierwotna

$F(x) = x \sin \tfrac{1}{x}$ dla $0 < x \leqslant 1,$

której pochodna

$f(x) = \sin \tfrac{1}{x} - \frac{\cos \tfrac{1}{x}}{x}$

nie jest całkowalna od 0 do 1. Jest tak, ponieważ po przypisaniu jakiejkolwiek wartości f w zerze, będzie ona tam nieciągła. Z tego powodu F'(0) nie jest określone, dlatego niemożliwe jest zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego na przedziale [0,1].

Całkowalność w sensie Lebesgue'a

Dla danego zbioru X z określoną na nim σ-algebrą $\mathfrak M$ i miarą μ określoną na $\mathfrak M$ rzeczywista funkcja $f\colon X \to \mathbb R$ jest całkowalna, jeżeli tak jej część dodatnia f ⁺ = max(f,0), jak i ujemna f ⁻ = max( − f,0) są funkcjami mierzalnymi o skończonej całce Lebesgue'a. Jest to równoważne temu, by skończona była całka z funkcji | f | = f ⁺ + f ⁻ . Wówczas całkę Lebesgue'a funkcji f definiuje się wówczas wzorem

$\int f := \int f^+ - \int f^-.$

Czasami funkcję całkowalną w powyższym sensie nazywa się sumowalną, zaś termin „funkcja całkowalna” zarezerwowany jest dla funkcji f, dla której skończona jest choć jedna z całek po prawej stronie powyższego wzoru.

Dla liczby rzeczywistej $p \geqslant 0$ funkcję f nazywa się p-sumowalną, jeżeli sumowalna jest funkcja | f | ^p. Wielu autorów stosuje jednak to nazewnictwo tylko wtedy, gdy f jest ciągiem, a μ jest dyskretna; w przypadku ogólnym nazywając f funkcją p-całkowalną. Dla p = 1 mówi się czasem, że f jest bezwzględnie sumowalna/całkowalna.

Przestrzenie L ^p są jednym z głównych obiektów badań analizy funkcjonalnej.

Całkowalność z kwadratem

Funkcja zmiennej rzeczywistej bądź zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych jest całkowalna z kwadratem na przedziale, jeżeli całka kwadratu jej wartości bezwzględnej/modułu jest skończona. Zbiór wszystkich funkcji mierzalnych całkowalnych z kwadratem, w sensie Lebesgue'a, stanowi przestrzeń liniową, która jest przestrzenią Hilberta – jest to tzw. przestrzeń L², w której funkcje równe prawie wszędzie są ze sobą utożsamiane (formalnie L² jest przestrzenią ilorazową przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem przez podprzestrzeń funkcji, które znikają prawie wszędzie).

Funkcje tego rodzaju są szczególnie użyteczne w mechanice kwantowej, ponieważ funkcje falowe muszą być całkowalne z kwadratem na całej przestrzeni, aby teoria dawała sensowne fizycznie rozwiązania.