Funkcja charakterystyczna

W matematyce termin funkcja charakterystyczna może odnosić się do dowolnego z kilku różnych pojęć:

• Najpopularniejszy i najczęstszy przypadek to synonim dla funkcji charakterystycznej zbioru (indykatora zbioru), to jest funkcji

  $\mathbf 1_A\colon X \to \{0, 1\}$,

która każdemu podzbiorowi $A \subseteq X$ przypisuje jedynkę punktom zbioru $A$ i zero punktom zbioru $X \setminus A$.

• Przy zastosowaniu do liczb naturalnych procedura efektywna określa poprawnie, czy liczba naturalna znajduje się lub nie w „zbiorze” procedury: „Funkcja charakterystyczna to funkcja, która przyjmuje wartość 1 dla liczb ze zbioru i wartość zero dla liczb spoza zbioru” [Boolos-Burgess-Jeffrey (2002) s. 73].

• funkcja charakterystyczna w analizie wypukłej:

  $\chi_A(x) := \begin{cases} 0, & x \in A; \\ + \infty, & x \notin A. \end{cases}$

• Funkcja charakterystyczna stanu w mechanice statystycznej.
• W teorii prawdopodobieństwa funkcja charakterystyczna dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa na prostej rzeczywistej dana jest dla $X$ oznaczającego dowolną zmienną losową o badanym rozkładzie następującym wzorem:

  $\varphi_X(t) = \mathbb E\left(e^{itX}\right)$,

gdzie $\mathbb E$ oznacza wartość oczekiwaną.

• Wielomian charakterystyczny w algebrze liniowej.
• Charakterystyka Eulera, niezmiennik topologiczny.
• Funkcja charakterystyczna w teorii gier.