Funkcja ciągła

Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:

1. funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
2. funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze $\mathbb {R}$ lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Funkcja, która ma conajmniej jeden punkt nieciagłości nazywana jest nieciagłą. Tzw. funkcja ze skokami po raz pierwszy została nazwana nieciagłą (ang. discontiguous) przez Arbogasta w 1791, który badał geometryczne rozwiązania równań różniczkowych.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):

Zbiór $X$ staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów $X.$ Musi ona spełniać pewne warunki.

Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości $\rho (x,y)$ punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.

Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu $+\infty$ w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały $(M,+\infty ]$ dla dowolnych $M\in \mathbb {R} ;$ otoczeniami elementu $-\infty$ są przedziały $[-\infty ,M)$ dla dowolnych $M\in \mathbb {R}$ (ciekawe są otoczenia $-\infty$ dla $M<0$).

Niech będą dane zbiory $A$ i $B,$ zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja $f\colon A\to B.$

Definicja (topologiczna): Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0}\in A$ jeśli

$\forall _{U{\text{ otoczenie }}f(x_{0})}\exists _{V{\text{ otoczenie }}x_{0}}\forall _{x\in V\cap A}:f(x)\in U,$

symbole $\forall$ i $\exists$ to kwantyfikatory.

Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze $A.$ Funkcja jest ciągła w zbiorze $C$ zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości:

• Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter $\varepsilon$ oraz $\delta$ w definicji;
• Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech $M\subseteq \mathbb {R}$ oraz $f\colon M\to \mathbb {R} .$

Definicje

Definicja Cauchy’ego

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0}\in M$ wtedy i tylko wtedy gdy:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in M}\ \ |x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon .$

Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek $|x_{0}-x|<\delta$ oznacza, że $x$ należy do kuli otwartej o środku $x_{0}$ i promieniu $\delta$ (czyli do otoczenia $V$). Warunek $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon$ oznacza, że $f(x)$ należy do kuli otwartej o środku $f(x_{0})$ i promieniu $\varepsilon$ (czyli do otoczenia $U$). Tak więc zapis $\forall _{\varepsilon >0}$ oznacza wybranie otoczenia $f(x_{0}),$ a zapis $\exists _{\delta >0}$ oznacza dobranie do niego otoczenia $x_{0}$ (zamiast pisać $\forall _{x\in V\cap A}$ Cauchy pisze $\forall _{x\in M}$ ($M$ pełni rolę $A$), a warunek przynależności do $V$ przenosi do poprzednika implikacji).

Definicja Heinego

Funkcja jest ciągła w punkcie $x_{0}\in M,$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu $(x_{n})$ liczb z $M,$ który jest zbieżny do $x_{0},$ ciąg wartości ${\big (}f(x_{n}){\big )}$ jest zbieżny do $f(x_{0}),$ czyli

$\forall _{(x_{n})\subset M}\ \ x_{n}\to x_{0}\Rightarrow f(x_{n})\to f(x_{0}),$

Jeżeli funkcja $f$ spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego $x\in M,$ to jest ona ciągła na zbiorze $M$ odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.

Uwagi do definicji

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja $f$ jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru $M.$

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in M}\;|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon ,$

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla $x,$ mianowicie $x<x_{0},$ aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x_{0}$ wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

• Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji $\cdot \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$).
• Funkcja dana wzorem

$f(x)={\begin{cases}{\tfrac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\[2pt]\;1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}$

jest ciągła.

• Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem: $\mathbb {R} \setminus \{0\}.$
• Funkcja Dirichleta $D$ jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
  • Funkcja $D_{1}(x)=x\cdot D(x)$ jest ciągła wyłącznie w punkcie $x=0.$
  • Funkcja $D_{\mathbb {Z} }=\sin(x\pi )\cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
• Funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Własności

• Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
• Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,$ to na dziedzinie:

1. jest jednostajnie ciągła,
2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych

Definicje

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych $(X,d_{X})$ oraz $(Y,d_{Y})$ funkcja $f\colon X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x_{0}\in X,$ jeśli prawdziwe jest zdanie

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in X}\;d_{X}(x_{0},x)<\delta \Rightarrow d_{Y}(f(x_{0}),f(x))<\varepsilon .$

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;f(B_{X}(x_{0},\delta ))\subseteq B_{Y}(f(x_{0}),\varepsilon )$ albo $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;B_{X}(x_{0},\delta )\subseteq f^{-1}{\big (}B_{Y}(f(x_{0}),\varepsilon ){\big )},$

gdzie $B_{X},\ B_{Y}$ oznaczają kule otwarte odpowiednio w $X$ oraz $Y;$ $x_{0},\delta$ oznaczają środek i promień kuli $B_{X}$ (analogicznie jest dla kuli $B_{Y}$).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji $f\colon X\to Y$ w sensie Heinego jest:

$\forall _{(x_{n})\subset X}\ \ d_{X}(x_{n},x_{0})\to 0\Rightarrow d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{0}))\to 0.$

Przykłady

• Dwuargumentowe działania algebraiczne $\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C}$ zdefiniowane $f(a,b)=a+b,\ g(a,b)=ab$ dla $a,b\in \mathbb {C} .$
  Zbiór liczb zespolonych $\mathbb {C}$ jest przestrzenią metryczną w metryką $d_{\mathbb {C} }(a,b)=|a-b|,$
  zbiór par liczb zespolonych $\mathbb {C} ^{2}$ jest przestrzenią metryczną w metryką $d_{\mathbb {C} }((a,b),(c,d))=\max(|a-c|,|b-d|),$
  gdzie $|.|$ oznacza moduł liczby zespolonej.
• Jednoargumentowe działanie algebraiczne $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ zdefiniowane $f(a)=a^{-1}$ dla $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$
• Jednoargumentowe działanie $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ zdefiniowane $f(a)={\overline {a}}$ dla $a\in \mathbb {C} .$
• Metryka naturalna $S^{n}\times S^{n}\to \mathbb {R}$ na sferze $S^{n},$ zdefiniowana formalnie jako $d_{S^{n}}(a,b)=\arccos \left({\tfrac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}\right),$ czyli jako kąt między niezerowymi wektorami $a,b\in E^{n+1}$

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych

Definicja

Ciągłość funkcji w punkcie $x{:}$ dla otoczenia $V$ punktu $f(x)$ możemy znaleźć otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że $f(U)$ jest zawarte w $V.$

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech $(X,\tau _{X})$ oraz $(Y,\tau _{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja $f\colon X\to Y$ jest ciągła w punkcie $x\in X,$ jeżeli dla każdego otoczenia $V\subseteq Y$ punktu $f(x)$ istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ takie, że jego obraz $f(U)$ zawiera się w $V$ (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie $X,\ Y$ są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech $(X,\tau _{X})$ i $(Y,\tau _{Y})$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $f\colon X\to Y.$

Aby sprawdzić ciągłość funkcji $f,$ nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

• Można zbadać dla pewnej bazy ${\mathcal {B}}$ tej przestrzeni: funkcja $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego $U\in {\mathcal {B}}$ jest otwarty, tj. należy do topologii $f^{-1}(U)\in \tau _{X}.$
• Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja $f$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
  • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w $Y$ jest domknięty w $X;$
  • dla każdego zbioru $A\subseteq X$ spełniony jest warunek
    $f(\operatorname {cl} \;A)\subseteq \operatorname {cl} \;f(A),$
    gdzie $\operatorname {cl} \;A$ oznacza domknięcie zbioru $A;$
  • dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ spełniony jest warunek

$\operatorname {cl} \;f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} \;B).$

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli $f\colon X\to Y$ jest funkcją ciągłą oraz $X$ ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz $f(X){:}$

• zwartość,
• ośrodkowość,
• spójność.

Jeśli zbiór $D$ jest gęsty w $X,$ a $f,g\colon X\to Y$ są ciągłe oraz $f(x)=g(x)$ dla każdego $x\in D,$ to $f=g.$

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej $X$ w inną przestrzeń $Y$ jest oznaczana symbolem ${\mathcal {C}}(X,Y).$ Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z $X$ w $\mathbb {R}$ i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,\tau _{X}).$

Na przestrzeni ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej

zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie $\prod _{x\in X}~\mathbb {R} ;$

zbieżności jednostajnej

w której bazą otoczeń punktu $f\in {\mathcal {C}}(X)$ jest $\{U_{n}(f)\colon \ n=1,2,3,\dots \},$ gdzie $U_{n}(f)=\left\{g\in {\mathcal {C}}(X)\colon \ \forall _{x\in X}\;|f(x)-g(x)|<{\tfrac {1}{n}}\right\}.$

Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowych

Niech $(A,\leqslant _{A})$ oraz $(B,\leqslant _{B})$ będą porządkami zupełnymi.

Funkcja $f\colon A\to B$ jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego $X\subseteq A$ zachodzi $f(\sup X)=\sup f(X).$

Zobacz też

• funkcja jednostajnie ciągła
• funkcja różniczkowalna
• punkt odosobniony
• warunek Höldera
• warunek Lipschitza

Bibliografia

• T. Trajdos: Matematyka. Cz. III. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, seria: Podręczniki akademickie.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Literatura dodatkowa

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.

Linki zewnętrzne

• MartaM. Szumańska MartaM., Ciągłość, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2019, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Continuous Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-07].
• Continuous function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-07].
• William L. Hosch, continuity (ang.), Britannica Online, 18 stycznia 2023 [dostęp 2023-02-07].