Funkcja częściowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład funkcji częściowej.
Jedno z przedłużeń funkcji częściowej z poprzedniej ilustracji.

W matematyce, funkcją częściową z X do Y jest funkcja ƒ: X' → Y, gdzie X' jest podzbiorem  X[1].

Funkcję częściową z X do Y oznacza się f \colon X \nrightarrow Y.

Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby f odwzorowywało każdy element zbioru X na element zbioru Y (lecz elementy pewnego podzbioru X' zbioru X). Jeśli X' = X, to ƒ nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, X' , nie jest znana.

Dla funkcji częściowej f dla każdego elementu x ∈ X, albo:

  • ƒ(x) = y ∈ Y (y jest jedynym takim elementem Y) albo
  • ƒ(x) jest niezdefiniowana.

Jeśli dla funkcji częściowej f istnieje taka funkcja g: X → Y, że dla każdego elementu x zbioru X' zachodzi równość f(x) = g(x), to funkcję g nazywamy przedłużeniem funkcji f. Mówimy wtedy, że funkcja f jest funkcją częściową funkcji g[2]. Funkcję częściową f funkcji g oznaczamy wtedy symbolem g | X'.

Dziedzina funkcji częściowej[edytuj | edytuj kod]

Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina f dla zbioru wszystkich wartości x, dla których f(x) jest zdefiniowana ( X' w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej f:X'Y zbiór X, i nazywa zbiór X' dziedziną definicji.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli f jest funkcją częściową funkcji g, to f \subset g (jako podzbiory  X \times Y).
  • Każdą funkcję częściową f można przedłużyć do pewnej funkcji g, na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element y0 zbioru Y i przyjmijmy:
g(x) =
\begin{cases}
f(x), & \text{gdy } x \in X' \\
y_0, & \text{gdy } x \in X \setminus X'
\end{cases}
  • Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
  • Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
  • Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

g\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}
g(n) = \sqrt{n}
Wtedy g(n) jest zdefiniowana dla tych liczb n, które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego g(25) = 5, lecz g(26) jest niezdefiniowana.
  • Logarytm zmiennej zespolonej z jest funkcją częściową w = \ln z \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} o dziedzinie \{z = r e^{i \varphi} \colon \; r > 0, -\pi < \varphi < \pi\}, czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnich[3].

Przypisy

  1. Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1978, s. 83.
  2. Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 83
  3. Szabat B.: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985, s. 180-181.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: PWN, 1978.
  • Szabat B.: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985. (ros.)