Funkcja grzebieniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Wykres funkcji grzebieniowej jako szeregu impulsów Diraca.

Funkcja grzebieniowadystrybucja, której głównym zastosowaniem jest teoretyczny opis próbkowania natychmiastowego; potoczna nazwa szeregu impulsów Diraca położonych w równych odstępach czasu \scriptstyle T,

\operatorname{comb}_T = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta_{nT},

gdzie \scriptstyle \delta_{nT} to impuls Diraca \scriptstyle \delta „przesunięty” do punktu \scriptstyle nT (tzn. \scriptstyle \delta_{nT}(\varphi) = \varphi(nT) dla dowolnej funkcji próbnej \scriptstyle \varphi); bywa również oznaczany za pomocą dużej litery cyrylicy Ш (czyt. „sza”), ze względu na jej graficzne podobieństwo do trzech kolejnych impulsów Diraca. Formalnie szereg ten nie jest zbieżny, dlatego nie może być uważany za funkcję. Zwykle oznacza się \scriptstyle \operatorname{comb} = \operatorname{comb}_1 = \sum_n \delta_n.

Funkcja grzebieniowa jest funkcją własną (a nawet idempotentem) transformacji Fouriera:

\mathcal F(\operatorname{comb}) = \operatorname{comb},

co jest całkowicie równoważne ze wzorem sumacyjnym Poissona; podobnie

\mathcal F(\operatorname{comb}_T) = \tfrac{1}{T} \operatorname{comb}_\frac{1}{T},