Funkcja homograficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja wymierna, na ogół określana w dziedzinie zespolonej f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} postaci

f(z)=\frac{az+b}{cz+d},

gdzie współczynniki a,b,c,d \in \mathbb{C} spełniają warunek:

ad-bc\ne 0\;[1][2](w przeciwnym wypadku f(x)\; redukuje się do funkcji stałej).

Niektóre źródła podają warunek[3]

c\ne 0

lub podają go jako warunek dodatkowy[4]. Warunek ten jednak powoduje, że zbiór funkcji homograficznych ze składaniem funkcji jako działaniem przestaje być grupą

Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego ciała K \;, jako funkcję f: K \rightarrow K. Wtedy a, b, c, d \in K oraz zmienna przebiega to ciało. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla ciała liczb rzeczywistych lub ciała liczb wymiernych.


Dziedzina i zbiór wartości[edytuj | edytuj kod]

Funkcja homograficzna f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}, określona na ciele K\;, gdzie c \ne 0  \,:

  • jest określona dla x\ne -\frac{d}{c}, czyli poza miejscem zerowym mianownika,
  • nie przyjmuje wartości \frac{a}{c}, bo wtedy byłaby spełniona równość
\frac{ax + b}{cx + d} - \frac{a}{c} = \frac{bc - ad}{c(cz + d)} = 0'

która jest sprzeczna z tym, że bc - ad \ne 0.

Jeśli rozszerzymy dziedzinę i przeciwdziedzinę o taki element \infty, nazywany punktem w nieskończoności, który :

  • dla każdego y \in K spełnia warunki
y \pm \infty = \infty \cdot \infty = \infty + \infty = \frac{\infty}{y} = \infty,
\frac{y}{\infty} = 0,
  • dla każdego niezerowego y \in K spełnia warunek
y \cdot \infty = \infty,

otrzymamy zbiór \hat K = K \cup \{\infty\}, na który można rozszerzyć funkcję homograficzną za pomocą warunków

  • dla c=0 \quad f(\infty) = \infty,\quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \infty,
  • dla c\ne0 \quad f(\infty) = \frac{a}{c}, \quad f(-\frac{d}{c})=\infty.

Homografia f: \hat{K} \rightarrow \hat{K} jest wtedy funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

Różnowartościowość homografii[edytuj | edytuj kod]

Homografia z warunkiem  ad - bc \ne 0 jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli f(x_1)=f(x_2)\, czyli \frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d}

to (ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d)\,

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

(ad-bc)(x_1-x_2) = 0 \,

a ponieważ  ad - bc \ne 0

więc x_1=x_2\,

Grupowe własności funkcji homograficznej[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele (włączając przypadek c=0\;) tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli g(x)=\frac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1},\quad f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}

gdzie a_1d_1-b_1c_1 \ne 0,\quad ad-bc \ne 0

to (g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_1a+b_1c)x+a_1b+b_1d}{(c_1a+d_1c)x+c_1b+d_1d}

gdzie (a_1a+b_1c) (c_1b+d_1d) - (a_1b+b_1d)(c_1a+d_1c) = (a_1d_1-b_1c_1)(ad-bc) \ne 0.

Czyli g\circ f też jest homografią.

Homografia f(x)=x\, jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Dla homografii f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} elementem odwrotnym jest homografia f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}.

Oznaczmy przez M_f = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix} macierz złożoną ze współczynników homografii f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}

Zauważmy, że warunek dla współczynników ad-bc \ne 0 oznacza, iż M_f \, jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia g\circ f są elementami iloczynu macierzy M_g\cdot M_f

Można to symbolicznie zapisać

M_{g\circ f} = M_g\cdot M_f

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy 2\times 2 nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

Rozkład homografii[edytuj | edytuj kod]

Dla homografii, dla której c\ne 0 dostajemy

 f(z)=\frac{az+b}{cz+d}= \frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac{1}{z+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja: f(z)=z+\frac{d}{c}

Inwersja: f(z)=\frac{1}{z}

Jednokładność: f(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z

Translacja: f(z)=z+\frac{a}{c}

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność: f(z)=\frac{a}{d}\cdot z

Translacja: f(z)=z+\frac{b}{d}

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz 2 \times 2 może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci


\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix}, 
\begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}

Weźmy dwie dowolne homografie:

 f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad g(x)=\frac{a'x+b'}{c'x+d'}

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}
=
\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot  g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}

czyli

f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x)

gdzie h2, h1 są liniowymi funkcjami:

h_2(x)=\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}
h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej[edytuj | edytuj kod]

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

y_1 = ax_1 +bx_2\,
y_2 = cx_1+dx_2\,

Gdzie ad-bd\ne 0\, oraz x_i, y_i\, są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

\frac {y_1}{y_2} = \frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} = \frac {a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d}

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) x:=\frac{x_1}{x_2},\quad y:=\frac{y_1}{y_2} dostaniemy:

y =  \frac {ax+b}{cx+d}

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki a,b,c,d były liczbami rzeczywistymi.

Wykres[edytuj | edytuj kod]

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową x= \frac{- d}{c}   i   poziomą y= \frac{a}{c} .

Punkt  S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right) to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów (-\infty,-\frac{d}{c}) oraz (-\frac{d}{c},\infty). Jest ona

  • przedziałami malejąca gdy ad - bc < 0 oraz
  • przedziałami rosnąca ad - bc > 0.

Przesunięcie wykresu hiperboli[edytuj | edytuj kod]

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} , gdzie c \neq 0 oraz ad - bc \neq 0 powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich x mamy

\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}.

Zatem wykres funkcji f powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

y=\frac{bc-ad}{c^2x}

o wektor \vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]

Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: C \equiv R^2) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją C\cup\{\infty\}\rightarrow C\cup\{\infty\} zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona f(z)=\frac {1}{z}. Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję f(z)=\frac {1}{\bar z}.

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

Przypisy

  1. Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1
  2. Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wrocław: Wydawnictwo Europa, 1998, s. 69. ISBN 83-85336-06-0.
  3. Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. I. Warszawa: PWN, 1953, s. 55.
  4. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Douglas N. Arnold, Jonathan Rogness (University of Minnesota): Moebius Transformations Revealed (ang.). [dostęp 1 maja 2009]. – animacja pokazująca przekształcenie Möbiusa generowane przez funkcję homograficzną w dziedzinie zespolonej