Funkcja kardynalna

Funkcja kardynalna – funkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości

• Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru A przyporządkowuje jego moc $|A|$.
• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S$, który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:

${\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\},$

${\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=S\big\},$

${\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},$

${\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.$

• Dla praporządku $({\mathbb P},\sqsubseteq)$ określa się liczbę nieograniczoną ${\mathfrak b}({\mathbb P})$ oraz liczbę dominującą ${\mathfrak d}({\mathbb P})$ tego praporządku przez

${\mathfrak b}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists y\in Y)(y\not\sqsubseteq x)\big\}$,

${\mathfrak d}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y)\big\}$.

Funkcje kardynalne w topologii

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych. Na przykład, rozważa się następujące funkcje kardynalne:

• Ciężar przestrzeni X to ${\rm w}(X)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}$ jest bazą topologii na X $\}+\aleph_0$.
• Gęstość przestrzeni X to ${\rm d}(X)=\min\{|S|:S\subseteq X\ \wedge\ {\rm cl}_X(S)=X \}+\aleph_0$.
• Celularność przestrzeni X to

${\rm c}(X)=\sup\{|{\mathcal U}|:{\mathcal U}$ jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów $X \}+\aleph_0$.

• Ciasność przestrzeni X w punkcie $x\in X$ to

$t(x,X)=\sup\big\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Y)\big\}$

i ciasność przestrzeni X to $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}$.

• Rozciągłość przestrzeni X to

$s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną $\}$.

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole'a

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole'a. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

• Celularność $c({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\mathbb B}$.
• Długość ${\rm length}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest łańcuchem $\big\}$

• Głębokość ${\rm depth}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem $\big\}$.

• Nieporównywalność ${\rm Inc}({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

${\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}$ oraz $\big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a)\big)\big\}$.

• Pseudociężar $\pi({\mathbb B})$ algebry Boole'a ${\mathbb B}$ to

$\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\}$ oraz $\big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leqslant b\big)\big\}$.

Funkcje kardynalne w algebrze

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

• Wymiar przestrzeni liniowej V nad ciałem K.
• Dla modułu wolnego M nad pierścieniem przemiennym R wprowadza się rangę ${\rm rank}(M)$ jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
• Dla podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem V).
• Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej $G$ rozważa się rangi $\nu_0(G)$ i $\nu_p(G)$ (dla wszystkich liczb pierwszych $p$) dane przez rozkład

$G = (\bigoplus\limits_{p \in \mathbb{P}} {\mathbb Z}[p^\infty]^{(\nu_p(G))}) \oplus \mathbb Q^{(\nu_0(G))}.$

(Powyżej, ${\mathbb{P}}$ jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, ${\mathbb Q}$ jest grupą addytywną liczb wymiernych a ${\mathbb Z}[p^\infty]=\{e^\frac{2 n i\pi}{p^m}\,|\,n\in \mathbb{Z}^+,\,m\in \mathbb{Z}^+\}\;$ jest grupą p-quasi cykliczną.)

• Dla każdej struktury algebraicznej można rozważać minimalną moc zbiorów generatorów tej struktury.

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej

• Dla przestrzeni Banacha X rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór $A\subseteq X$ jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element X jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów A.) Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów.

Zobacz też

• diagram Cichonia