Funkcja kardynalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja kardynalnafunkcja której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości[edytuj | edytuj kod]

  • Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru A przyporządkowuje jego moc |A|.
  • Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech I będzie takim ideałem podzbiorów zbioru S, który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:
{\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\},
{\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=S\big\},
{\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},
{\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.
  • Dla praporządku ({\mathbb P},\sqsubseteq) określa się liczbę nieograniczoną {\mathfrak b}({\mathbb P}) oraz liczbę dominującą {\mathfrak d}({\mathbb P}) tego praporządku przez
{\mathfrak b}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists y\in Y)(y\not\sqsubseteq x)\big\},
{\mathfrak d}({\mathbb P})=\min\big\{|Y|:Y\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall x\in {\mathbb P})(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y)\big\}.

Funkcje kardynalne w topologii[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w topologii.

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych[1][2]. Na przykład, rozważa się następujące funkcje kardynalne:

  • Ciężar przestrzeni X to {\rm w}(X)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B} jest bazą topologii na X \}+\aleph_0.
  • Gęstość przestrzeni X to {\rm d}(X)=\min\{|S|:S\subseteq X\ \wedge\ {\rm cl}_X(S)=X \}+\aleph_0.
  • Celularność przestrzeni X to
{\rm c}(X)=\sup\{|{\mathcal U}|:{\mathcal U} jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów X \}+\aleph_0.
  • Ciasność przestrzeni X w punkcie x\in X to
t(x,X)=\sup\big\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge\ x\in {\rm cl}_X(Y)\big\}

i ciasność przestrzeni X to t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.

  • Rozciągłość przestrzeni X to
s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną \}.

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole'a[edytuj | edytuj kod]

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole'a[3][4]. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

  • Celularność c({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} jest to supremum mocy antyłańcuchów w {\mathbb B}.
  • Długość {\rm length}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm length}({\mathbb B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq {\mathbb B} jest łańcuchem \big\}
  • Głębokość {\rm depth}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm depth}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B} jest dobrze uporządkowanym łańcuchem \big\}.
  • Nieporównywalność {\rm Inc}({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
{\rm Inc}({\mathbb B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B} oraz \big(\forall a,b\in A\big)\big(a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a)\big)\big\}.
  • Pseudociężar \pi({\mathbb B}) algebry Boole'a {\mathbb B} to
\pi({\mathbb B})=\min\big\{ |A|:A\subseteq {\mathbb B}\setminus \{0\} oraz \big(\forall b\in B\setminus \{0\}\big)\big(\exists a\in A\big)\big(a\leqslant b\big)\big\}.

Funkcje kardynalne w algebrze[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcje kardynalne w algebrze.

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

  • Wymiar przestrzeni liniowej V nad ciałem K.
  • Dla modułu wolnego M nad pierścieniem przemiennym R wprowadza się rangę {\rm rank}(M) jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
  • Dla podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem V).
  • Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej G rozważa się rangi \nu_0(G) i \nu_p(G) (dla wszystkich liczb pierwszych p) dane przez rozkład
G = (\bigoplus\limits_{p \in \mathbb{P}} {\mathbb Z}[p^\infty]^{(\nu_p(G))}) \oplus \mathbb Q^{(\nu_0(G))}.
(Powyżej, {\mathbb{P}} jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, {\mathbb Q} jest grupą addytywną liczb wymiernych a {\mathbb Z}[p^\infty]=\{e^\frac{2 n i\pi}{p^m}\,|\,n\in \mathbb{Z}^+,\,m\in \mathbb{Z}^+\}\; jest grupą p-quasi cykliczną.)

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej[edytuj | edytuj kod]

  • Dla przestrzeni Banacha X rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór A\subseteq X jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element X jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów A.) Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów[5].

Przypisy

  1. Juhász, István: Cardinal functions in topology. "Mathematical Centre Tracts", nr 34. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1971.
  2. Juhász, István: Cardinal functions in topology – ten years later. "Mathematical Centre Tracts", 123. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980. ISBN 90-6196-196-3
  3. Monk, J. Donald: Cardinal functions on Boolean algebras. "Lectures in Mathematics ETH Zürich". Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. ISBN 3-7643-2495-3.
  4. Monk, J. Donald: Cardinal invariants on Boolean algebras. "Progress in Mathematics", 142. Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-5402-X.
  5. Singer, Ivan: Bases in Banach spaces. II. Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bucharest; Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981, s 571-603. ISBN 3-540-10394-5

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]