Funkcja kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
\scriptstyle f(x) = x^2 - x - 2

Funkcja kwadratowafunkcja wielomianowa drugiego stopnia, tzn. postaci

f(x) = ax^2 + bx + c,

gdzie a, b, c są pewnymi stałymi, przy czym a \neq 0 (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian[1] (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Ze względu na tzw. porządne własności edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Postacie[edytuj | edytuj kod]

O funkcji kwadratowej danej wzorem

f(x) = ax^2 + bx + c,

gdzie a, b, c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

\begin{align} ax^2 + bx + c & = ax^2 + bx + \tfrac{b^2}{4a} - \tfrac{b^2}{4a} + c = \\ & = a\left(x^2 + 2x\tfrac{b}{2a} + \tfrac{b^2}{4a^2}\right) - \tfrac{b^2}{4a} + \tfrac{4ac}{4a} = \\ & = a\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}, \end{align}

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

f(x) = a(x - p)^2 + q,

gdzie p = - \tfrac{b}{2a}, zaś q = - \tfrac{b^2 - 4ac}{4a}. Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu (zob. wykres). Wyrażenie

\Delta = b^2 - 4ac

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej f. Ponieważ

\begin{align} f(x) & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a} = \\ & = a(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - a\tfrac{\Delta}{4a^2} = \\ & = a\left[(x - \tfrac{-b}{2a})^2 - \tfrac{\Delta}{4a^2}\right] = \\ & = a\left(x - \tfrac{-b}{2a} - \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x  - \tfrac{-b}{2a} + \tfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right), \end{align}

o ile tylko wyróżnik \Delta jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową f daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych (zob. miejsca zerowe):

f(x) = a\left(x - \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x - \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a}\right).

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli \Delta < 0, to

\sqrt\Delta = i\sqrt{4ac - b^2},

gdzie i jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: miejsce zerowewzory Viète'a.
  • Oznaczając wyżej
    x_1 = \tfrac{-b - \sqrt\Delta}{2a} oraz x_2 = \tfrac{-b + \sqrt\Delta}{2a}
otrzymuje się wzór
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2),
gdzie x_1, x_2 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla \Delta > 0.
  • Jeżeli \Delta = 0, to x_1 = x_2 = p = \tfrac{-b}{2a} i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem
    f(x) = a(x - p)^2.
  • Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy \Delta < 0. Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia \sqrt\Delta, są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète'a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a}, \\ x_1 x_2 = \tfrac{c}{a}. \end{cases}

Wykres[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa \scriptstyle f(x) = ax^2 + bx + c dla różnych wartości współczynników \scriptstyle a, b, c.
Information icon.svg Zobacz też: wykres funkcji.

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt (p, q), gdzie p, q są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor [p, q] względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią OX układu. W szczególności p = \tfrac{x_1 + x_2}{2}, co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

  • a > 0 daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi OY, jeżeli a < 0, to są one skierowane przeciwnie;
  • zwiększanie |a| sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”, jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”;
  • zmiana b powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią OY przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem OX, jeżeli b < 0 i przeciwnie do niego, jeżeli b > 0;
  • parametr c odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż OY zgodnie z jej zwrotem, gdy c > 0 i przeciwnie do niego, gdy c < 0.

Własności i przebieg zmienności[edytuj | edytuj kod]

Niżej zakłada się, iż f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x)=ax^2 + bx + c:

dziedzina i przeciwdziedzina 
określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział [q, \infty) dla a > 0 i przedział (-\infty, q] dla a < 0;
monotoniczność 
maleje (rośnie) w przedziale (-\infty, p], po czym rośnie (maleje) w przedziale [p, \infty) dla a > 0\; (a < 0);
ciągłość, różniczkowalność, całkowalność 
w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue'a itd.
pochodne
f^\prime(x) = 2ax + b,
f^{\prime\prime}(x) = 2a,
f^{(n)} \equiv 0 dla n > 2;
pierwotna
F(x) = \tfrac{1}{3} ax^3 + \tfrac{1}{2} bx^2 + cx + C;
ekstrema 
jedno ekstremum globalne w punkcie p (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla a > 0 i maksimum dla a < 0 (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
wypukłość 
wypukła dla a > 0 i wklęsła dla a < 0 (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
parzystość i nieparzystość 
parzysta wyłącznie dla p = 0, nigdy nieparzysta;
okresowość, punkty przegięcia i asymptoty 
brak.

Konforemność[edytuj | edytuj kod]

Funkcja kwadratowa w(z) = z^2, gdzie z \in \mathbb C \setminus \{0\} jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) z w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) w. Siatka izotermicznatemperaturowa!?[potrzebne źródło] z składa się z dwóch rodzin hiperbol:

\begin{cases} u = x^2 - y^2, \\ v = 2xy. \end{cases}

Punktami stałymi tego odwzorowania są 0 oraz 1[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikibooks-logo.svg
Zobacz publikację na Wikibooks:
Funkcja kwadratowa

Przypisy

  1. Odróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki a, b, c należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce.
  2. Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. VI. Warszawa: PWN, 1976, s. 636.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.