Funkcja kwadratowa

$f(x)=x^{2}-x-2$

Funkcja kwadratowa – funkcja wielomianowa drugiego stopnia, czyli postaci

$f(x)=ax^{2}+bx+c,$

gdzie $a,b,c$ są pewnymi stałymi, przy czym $a\neq 0$ (co gwarantuje, że funkcja kwadratowa nie degeneruje się do przypadku funkcji liniowej; to założenie będzie obowiązywać w całym artykule). Funkcja kwadratowa realizuje pewien wielomian (drugiego stopnia), z tego powodu nazywa się ją czasami trójmianem kwadratowym.

Edukacja szkolna obejmuje najczęściej funkcje kwadratowe o rzeczywistej dziedzinie, przeciwdziedzinie oraz współczynnikach.

Przykłady i zastosowania

• Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
• Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
• Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
• Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
• Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
• Suma ciągu arytmetycznego, na przykład kolejnych liczb naturalnych (tak zwana liczba trójkątna), jest kwadratową funkcją liczby wyrazów.

• W kinematyce: dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu. Przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
• W dynamice: dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości.
• Energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu.
• Energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.
• Rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola.

Postacie

O funkcji kwadratowej danej wzorem

$f(x)=ax^{2}+bx+c,$

gdzie $a,b,c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, mówi się, że jest w postaci ogólnej lub wielomianowej. Skoro

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=ax^{2}+bx+{\tfrac {b^{2}}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+c=\\&=a\left(x^{2}+2x{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+{\tfrac {4ac}{4a}}=\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}},$

to funkcję kwadratową można przedstawić również wzorem

$f(x)=a(x-p)^{2}+q$

gdzie $p=-{\tfrac {b}{2a}}$, zaś $q=-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}$. Mówi się wtedy, że jest ona w postaci kanonicznej; ułatwia ona kreślenie wykresu. Wyrażenie

$\Delta =b^{2}-4ac$

nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej $f$.

Ponieważ

${\begin{aligned}f(x)&=a(x-{\tfrac {-b}{2a}})^{2}-{\tfrac {\Delta }{4a}}=\\&=a(x-{\tfrac {-b}{2a}})^{2}-a{\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}=\\&=a\left[(x-{\tfrac {-b}{2a}})^{2}-{\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}\right]=\\&=a\left(x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right),\end{aligned}}$

o ile tylko wyróżnik $\Delta$ jest nieujemny (istnieje jego rzeczywisty pierwiastek), to funkcję wielomianową $f$ daje się przedstawić w postaci iloczynowej, która ułatwia odczytanie jej miejsc zerowych:

$f(x)=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)$.

Przedstawienie takie jest zawsze możliwe w dziedzinie zespolonej: jeżeli $\Delta <0$, to

${\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}}$,

gdzie $i$ jest jednostką urojoną.

Miejsca zerowe

• Oznaczając wyżej

  $x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$   oraz   $x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

otrzymuje się wzór

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$,

gdzie $x_{1},x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej dla $\Delta >0$.

• Jeżeli $\Delta =0$, to $x_{1}=x_{2}=p={\tfrac {-b}{2a}}$ i funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (któremu odpowiada dwukrotny pierwiastek wielomianu przez nią realizowanego; w związku z tym często mówi się wtedy nieprecyzyjnie, że miejsce zerowe jest podwójne), czyli można ją zapisać wzorem

  $f(x)=a(x-p)^{2}$.

• Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych w dziedzinie liczb rzeczywistych, gdy $\Delta <0$. Nadal istnieją jednak dwa rozwiązania w liczbach zespolonych (por. zasadnicze twierdzenie algebry) dane jw. zgodnie z uwagą poczynioną w poprzedniej sekcji. Różnią się one wtedy znakiem (urojonego) wyrażenia ${\sqrt {\Delta }}$, są zatem sprzężone względem siebie.

Ze wzorów Viète’a wynika (także w dziedzinie zespolonej), iż

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\tfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\tfrac {c}{a}}.\end{cases}}$

Wykres

Funkcja kwadratowa $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dla różnych wartości współczynników $a,b,c.$

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa opisuje parabolę. Jej wierzchołkiem jest punkt $(p,q)$, gdzie $p,q$ są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor $[p,q]$ względem początku układu współrzędnych.

Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią $OX$ układu. W szczególności $p={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}$, co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).

We wspomnianym układzie, przy zachowaniu skali:

• $a>0$ daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi $OY$, jeżeli $a<0$, to są one skierowane przeciwnie
• zwiększanie $|a|$ sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”
• zmiana $b$ powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią $OY$ przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem $OX$, jeżeli $b<0$, lub przeciwnie do niego, jeżeli $b>0$
• parametr $c$ odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż $OY$ zgodnie z jej zwrotem, gdy $c>0$, lub przeciwnie do niego, gdy $c<0$.

Własności i przebieg zmienności

Niżej zakłada się, iż $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=ax^{2}+bx+c$:

• dziedzina i przeciwdziedzina: określona wszędzie; zbiorami wartości są przedział $[q,\infty )$ dla $a>0$ i przedział $(-\infty ,q]$ dla $a<0$
• monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale $(-\infty ,p]$, po czym rośnie (maleje) w przedziale $[p,\infty )$ dla $a>0\;(a<0)$
• ciągłość, różniczkowalność, całkowalność: w całej dziedzinie, funkcja gładka; całkowalna w sensie Riemanna, Lebesgue’a itd.
• pochodne

$f^{\prime }(x)=2ax+b$

$f^{\prime \prime }(x)=2a$

$f^{(n)}\equiv 0$ dla $n>2$

• funkcja pierwotna

$F(x)={\tfrac {1}{3}}ax^{3}+{\tfrac {1}{2}}bx^{2}+cx+C$

• ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie $p$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla $a>0$ i maksimum dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
• wypukłość: wypukła dla $a>0$ i wklęsła dla $a<0$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej)
• parzystość i nieparzystość: parzysta wyłącznie dla $p=0$, nigdy nieparzysta
• okresowość, punkty przegięcia i asymptoty: brak.

Konforemność

Funkcja kwadratowa $w(z)=z^{2}$, gdzie $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) $z$ w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) $w$. Siatka izometryczna $z$ składa się z dwóch rodzin hiperbol:

${\begin{cases}u=x^{2}-y^{2},\\v=2xy.\end{cases}}$

Punktami stałymi tego odwzorowania są $0$ oraz $1$.

Zobacz też

• jednorodna funkcja kwadratowa
• równanie kwadratowe, równanie dwukwadratowe
• funkcja liniowa

Bibliografia

• Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 313. ISBN 83-02-02551-8.