Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna - w analizie zespolonej, funkcja $f$, określona na otwartym podzbiorze $D$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze $D\setminus S$, gdzie $S\;$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji $f$.

Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

$f(z)=\frac{h_1(z)}{h_2(z)}$,

przy czym funkcja $h_2$ nie może być stale równa $0$. Zbiór biegunów $S\;$ jest zbiorem zer funkcji $h_2$.

Jeżeli zbiór $D$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w $D$).

Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

$f\colon D\to \mathbb{P}_1$,

(gdzie $\mathbb{P}_1$ oznacza sferę Riemanna), które nie są stale równe $\infty$.

Przykłady

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna (na $\mathbb{C}$).
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne są funkcjami meromorficznymi (na $\mathbb{C}$).
• Funkcja gamma, funkcja dzeta Riemanna (na $\mathbb{C}$).
• Funkcje eliptyczne, czyli "dwuokresowe" funkcje meromorficzne określone na $\mathbb{C}$.
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne, określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, niezmiennicze na działanie grupy modularnej (w szczególności, tzw. J-niezmiennik).
• $f(z)=1/\sin(z)$ - przykład funkcji meromorficznej, która ma nieskończenie wiele biegunów.

Bibliografia

1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.