Funkcja meromorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja meromorficzna - w analizie zespolonej, funkcja f, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze D\setminus S, gdzie S\; oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji f.

Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

f(z)=\frac{h_1(z)}{h_2(z)},

przy czym funkcja h_2 nie może być stale równa 0. Zbiór biegunów S\; jest zbiorem zer funkcji h_2.

Jeżeli zbiór D jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w D).

Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

f\colon D\to \mathbb{P}_1,

(gdzie \mathbb{P}_1 oznacza sferę Riemanna), które nie są stale równe \infty.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej
  • Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna (na \mathbb{C}).
  • Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne są funkcjami meromorficznymi (na \mathbb{C}).
  • Funkcja gamma, funkcja dzeta Riemanna (na \mathbb{C}).
  • Funkcje eliptyczne, czyli "dwuokresowe" funkcje meromorficzne określone na \mathbb{C}.
  • Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne, określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, niezmiennicze na działanie grupy modularnej (w szczególności, tzw. J-niezmiennik).
  • f(z)=1/\sin(z) - przykład funkcji meromorficznej, która ma nieskończenie wiele biegunów.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.