Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja modularna eta Dedekinda – funkcja zmiennej zespolonej zdefiniowana na górnej półpłaszczyźnie. Nazwa pochodzi od Richarda Dedekinda .
Zdefiniujmy
q
=
e
i
2
π
τ
.
{\displaystyle q=e^{i2\pi \tau }.}
η
(
τ
)
=
q
1
/
24
∏
n
=
1
∞
(
1
−
q
n
)
.
{\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}
Funkcja eta jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie, nie może być jednak analitycznie przedłużona poza nią.
Funkcja eta spełnia następujące tożsamości:
η
(
τ
+
1
)
=
exp
(
2
π
i
/
24
)
η
(
τ
)
,
{\displaystyle \eta (\tau +1)=\exp(2\pi i/24)\eta (\tau ),}
η
(
−
1
/
τ
)
=
−
i
τ
η
(
τ
)
.
{\displaystyle \eta (-1/\tau )={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau ).}
Ogólniej,
η
(
a
τ
+
b
c
τ
+
d
)
=
ϵ
(
a
,
b
,
c
,
d
)
(
−
i
(
c
τ
+
d
)
)
1
/
2
η
(
τ
)
,
{\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(-i(c\tau +d)\right)^{1/2}\eta (\tau ),}
gdzie
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
a
d
−
b
c
=
1
,
{\displaystyle ad-bc=1,}
ϵ
(
a
,
b
,
c
,
d
)
=
exp
i
π
(
a
+
d
12
c
+
s
(
−
d
,
c
)
)
,
{\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}+s(-d,c)\right),}
natomiast
s
(
h
,
k
)
{\displaystyle s(h,k)}
s
(
h
,
k
)
=
∑
n
=
1
k
−
1
n
k
(
h
n
k
−
⌊
h
n
k
⌋
−
1
2
)
.
{\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}
Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 , See chapter 3 .
Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2 . 
