Funkcja modularna Dedekinda

Funkcja modularna eta Dedekinda, nazwana na cześć Richarda Dedekinda, to funkcja zmiennej zespolonej zdefiniowana na górnej półpłaszczyznie. Zdefiniujmy $q=e^{i2\pi \tau}$. Wtedy funkcję Dedekinda definiujemy następująco:

$\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}).$

Funkcja eta jest holomorficzna na górnej półpłaszczyznie, nie może być jednak analitycznie przedłużona poza nią.

Funkcja eta spełnia następujące tożsamości:

$\eta(\tau+1) = \exp(2 \pi i/24)\eta(\tau),\,$

$\eta(-1/\tau) = \sqrt {-i\tau} \eta(\tau).\,$

Ogólniej,

$\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) = \epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(\tau)$

gdzie a, b, c, d sąliczbami całkowitymi, takimi, że: ad − bc = 1, oraz:

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right)$

natomiast s(h, k) jest sumą Dedekinda

$s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right).$

Bibliografia

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2