Funkcja odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcję f\colon X\to Y (por. uwaga) nazywamy odwracalną, gdy istnieje funkcja g\colon Y\to X taka, że

g(f(x))=x\; dla każdego x\in X\;
f(g(y))=y\; dla każdego y\in Y\;.

Innymi słowy g jest taką funkcją, że złożenia g\circ f oraz f\circ g są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze X i Y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy symbolem f^{-1}.

Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli f jest funkcją odwracalną to jest bijekcją dlatego oraz ze względu na uwagę powyżej, funkcję odwracalną definiuje się jako funkcję różnowartościową i "na". Wówczas oczywiście każda funkcja różnowartościowa jest odwracalna jeśli myślimy o jej obrazie jako przeciwdziedzinie.

Jeżeli f odwzorowuje X na Y, to f^{-1} odwzorowuje Y na X.

Oznaczenia f^{-1}(x) nie należy mylić z symbolem (f(x))^{-1}=\tfrac{1}{f(x)}.

Istnienie[edytuj | edytuj kod]

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie 
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), tzn. jest różnowartościowa i jest surjekcją.

Jest to warunek konieczny i wystarczający istnienia funkcji odwrotnej.

Twierdzenie 
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji nie będącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie[edytuj | edytuj kod]

Wyznaczenie funkcji odwrotnej g do danej f polega na rozwiązaniu równania

y = f(x)\;

względem niewiadomej x. Rozwiązanie, czyli

x = g(y)\;,

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f ma odwrotną f-1; ponieważ f odwzorowuje a na 3, to f-1 przekształca 3 w a.
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL.
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem y(x) = 3x jest funkcja x(y) = \tfrac{y}{3}.
  • Funkcja f(n)= n^2 nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że f(1)=f(-1)=1, jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją. Zauważmy, że funkcja dana wzorem g(n)=\sqrt{n} dla n\in\mathbb{N} nie jest funkcją odwrotną do funkcji f.
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem h(x) = \tfrac{1}{x} dla x\neq 0 jest ona sama, tzn. h^{-1}(x) = \tfrac{1}{x} (zob. Inwolucje).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jednoznaczność[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria[edytuj | edytuj kod]

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do f jest f^{-1}, to odwrotną do f^{-1} jest funkcja f. Symbolicznie:

\begin{align}
 &\text{jeżeli } & f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X\text{,} \\
 &\text{to } & f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y\text{.}
\end{align}

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

Odwrotność złożenia[edytuj | edytuj kod]

Funkcją odwrotną do gf jest f–1g–1.

Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzorem

(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}.

Należy zwrócić uwagę na zamieniony porządek f i g: aby odczynić działanie g następującego po f należy najpierw odczynić f, a następnie odczynić g.

Inwolucje[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na X jest swoją własną odwrotnością:

\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X.

Ogólniej, jeżeli funkcja f\colon X \to X jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie f \circ f jest równe \operatorname{id}_X. Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie liniowe odwrotne[edytuj | edytuj kod]

W przypadku odwzorowań liniowych T, S \in L(X) definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się T S = S T = \operatorname{id}_X.

W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych T S = \operatorname{id}_X pociąga za sobą S T = \operatorname{id}_X: Dowód:

T S = \operatorname{id}_X \Rightarrow (S T)^2 = S T S T = S \operatorname{id}_X T = S T, czyli S T jest rzutem. Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora S T ma na przekątnej tylko zera i jedynki. \operatorname{dim} \, \operatorname{Ran} (S T) = \operatorname{Tr} (S T) = \operatorname{Tr} (T S) = \operatorname{dim} X (wymiar obrazu S T jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że S T = \operatorname{id}_X.

Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych na przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomiany:

T x^n = n x^{n-1} (różniczkowanie)
S x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} (całkowanie ze stałą 0)

T S = \operatorname{id}_X, ale S T zeruje wielomiany stałe.

Podobnie w przestrzeniach skończenie wymiarowych nie istnieją operatory takie, że S T - T S = \operatorname{id}_X, ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez x[1].

Przypisy

  1. Algebra II – Wykład 1. [dostęp 2009-05-27].