Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja

Funkcję $f\colon X\to Y$ (por. uwaga) nazywamy odwracalną, gdy istnieje funkcja $g\colon Y\to X$ taka, że

$g(f(x))=x\;$ dla każdego $x\in X\;$

$f(g(y))=y\;$ dla każdego $y\in Y\;$.

Innymi słowy $g$ jest taką funkcją, że złożenia $g\circ f$ oraz $f\circ g$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze $X$ i $Y$. Funkcję $g$ nazywamy funkcją odwrotną do $f$ i oznaczamy symbolem $f^{-1}$.

Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli $f$ jest funkcją odwracalną to jest bijekcją dlatego oraz ze względu na uwagę powyżej, funkcję odwracalną definiuje się jako funkcję różnowartościową i "na". Wówczas oczywiście każda funkcja różnowartościowa jest odwracalna jeśli myślimy o jej obrazie jako przeciwdziedzinie.

Jeżeli f odwzorowuje X na Y, to $f^{-1}$ odwzorowuje Y na X.

Oznaczenia $f^{-1}(x)$ nie należy mylić z symbolem $(f(x))^{-1}=\tfrac{1}{f(x)}$.

Istnienie

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna. Funkcja $f\colon X\to Y$ posiada funkcję odwrotną wtw, gdy:

Twierdzenie 

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), tzn. jest różnowartościowa i surjekcją.

Jest to warunek konieczny istnienia funkcji odwrotnej.

Twierdzenie 

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji nie będącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej $g$ do danej $f$ polega na rozwiązaniu równania

$y = f(x)\;$

względem niewiadomej $x$. Rozwiązanie, czyli

$x = g(y)\;$,

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady

Funkcja f ma odwrotną f^-1; ponieważ f odwzorowuje a na 3, to f^-1 przekształca 3 w a.

• Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL.
• Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
• Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem $y(x) = 3x$ jest funkcja $x(y) = \tfrac{y}{3}$.
• Funkcja $f(n)= n^2$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że $f(1)=f(-1)=1$ – jednak zawężenie dziedziny tej funkcji do zbioru liczb naturalnych powoduje, iż ma ona na tym zbiorze funkcję odwrotną daną wzorem $f^{-1}(n)=\sqrt{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$.
• Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem $h(x) = \tfrac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ jest ona sama, tzn. $h^{-1}(x) = \tfrac{1}{x}$ (zob. Inwolucje).

Własności

Jednoznaczność

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do $f$ jest $f^{-1}$, to odwrotną do $f^{-1}$ jest funkcja $f$. Symbolicznie:

$\begin{align} &\text{je}\dot\text{z}\text{eli } & f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X\text{,} \\ &\text{to } & f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y\text{.} \end{align}$

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$.

Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do g ◦ f jest f^–1 ◦ g^–1.

Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzorem

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.

Należy zwrócić uwagę na zamieniony porządek $f$ i $g$: aby odczynić działanie $g$ następującego po $f$ należy najpierw odczynić $f$, a następnie odczynić $g$.

Inwolucje

Jeżeli $X$ jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na $X$ jest swoją własną odwrotnością:

$\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X$.

Ogólniej, jeżeli funkcja $f\colon X \to X$ jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f \circ f$ jest równe $\operatorname{id}_X$. Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności

• Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca.
• Funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest malejąca.
• Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest ciągła.
• Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej $f(x)$ jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których $f^\prime (x)=0$, w szczególności $(f^{-1})^\prime(y)=\tfrac{1}{f^\prime(x)}$
• Wykres funkcji odwrotnej do f jest symetryczny do wykresu f względem prostej $y=x$

Odwzorowanie liniowe odwrotne

W przypadku odwzorowań liniowych $T, S \in L(X)$ definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się $T S = S T = \operatorname{id}_X$.

W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych $T S = \operatorname{id}_X$ pociąga za sobą $S T = \operatorname{id}_X$: Dowód:

$T S = \operatorname{id}_X \Rightarrow (S T)^2 = S T S T = S \operatorname{id}_X T = S T$, czyli $S T$ jest rzutem. Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora $S T$ ma na przekątnej tylko zera i jedynki. $\operatorname{dim} \, \operatorname{Ran} (S T) = \operatorname{Tr} (S T) = \operatorname{Tr} (T S) = \operatorname{dim} X$ (wymiar obrazu $S T$ jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że $S T = \operatorname{id}_X$.

Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych na przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomiany:

$T x^n = n x^{n-1}$ (różniczkowanie)

$S x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (całkowanie ze stałą 0)

$T S = \operatorname{id}_X$, ale $S T$ zeruje wielomiany stałe.

Podobnie w przestrzeniach skończenie wymiarowych nie istnieją operatory takie, że $T S - T S = \operatorname{id}_X$, ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez $x$.