Funkcja prądu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja prądu (ang. stream function) - funkcja rzeczywista opisująca ruch płynu, której pochodne przestrzenne wyrażają składowe wektora prędkości płynu. Pojęcie funkcji prądu związane jest ściśle z pojęciem linii prądu.

Koncepcja funkcji prądu[edytuj | edytuj kod]

Funkcję prądu tworzy się w ten sposób, aby równanie ciągłości przepływu stanowiące hydrodynamiczny odpowiednik zasady zachowania masy spełnione było tożsamościowo. Funkcję prądu definiuje się wówczas jako funkcję \; \Psi  \;, której pochodne przestrzenne wyrażają składowe wektora prędkości płynu \; {\vec u}  \;.

Funkcję prądu tworzy się najczęściej dla przepływu płynu nieściśliwego. Równanie ciągłości przepływu odnoszące się do wektora prędkości płynu \; {\vec u}  \; przyjmuje wówczas postać:

\; {\rm div} \, {\vec u} = 0  \;

Dla przepływów płynów nieściśliwych funkcję prądu zdefiniować można alternatywnie jako funkcję wektorową \; {\vec \Psi}  \;, której rotacja równa jest wektorowi prędkości płynu \; {\vec u}  \;.

\; {\vec u} = {\rm rot} \, {\vec \Psi}  \;

Równanie ciągłości przepływu jest wówczas spełnione tożsamościowo, gdyż

\; {\rm div} \, {\rm rot} \, {\vec \Psi} = 0 \;

dla każdego pola wektorowego \; {\vec \Psi}  \;.

Znacznie trudniejsze jest tworzenie funkcji prądu dla przepływu płynu ściśliwego, dla którego równanie ciągłości przepływu przyjmuje bardziej skomplikowaną formę:

\; \frac{\partial \varrho}{\partial t} + {\rm div} \, ( \varrho \, {\vec u}) = 0  \;

gdzie \; \varrho  \; jest jest gęstością płynu, a \; t  \; czasem.

Funkcję prądu najłatwiej utworzyć dla dwuwymiarowego przepływu płynu nieściśliwego. Natomiast dla przepływu płynu ściśliwego funkcja prądu może być utworzona jedynie w nielicznych przypadkach szczególnych.

Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych prostokątnych[edytuj | edytuj kod]

W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych prostokątnych \; x, \, y, \, z  \; równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

\;  \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0  \;

gdzie \; u_x, \, u_y, \, u_z  \; są składowymi wektora prędkości \; {\vec u}  \;.

W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na płaszczyźnie \; xy  \; równanie ciągłości redukuje się do postaci:

\;  \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0  \;

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję \; \Psi(x,y)  \;, dla której:

\;  u_x = \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial y}  \;
\;  u_y = - \, \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial x}  \;

Alternatywnie funkcję prądu można definiować jako funkcję \; \Psi(x,y)  \;, dla której:

\;  u_x = - \, \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial y}  \;
\;  u_y = \frac{\partial \Psi(x,y)}{\partial x}  \;

Nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo. Istnieją więc dwie alternatywne definicje funkcji prądu, różniące się jedynie znakiem.

Funkcje prądu dla przepływów dwuwymiarowych w płaszczyznach \; xz  \; oraz \; yz  \; definiuje się analogicznie jak dla płaszczyzny \; xy  \;.

Funkcja prądu w przepływie dwuwymiarowym we współrzędnych cylindrycznych[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne cylindryczne \; r, \, \theta, \, z  \; otrzymywane są ze współrzędnych prostokątnych \; x, \, y, \, z  \; poprzez następującą transformację układu współrzędnych:

\;  x = r \cos \theta  \;
\;  y = r \sin \theta  \;
\;  z = z  \;

W przepływie trójwymiarowym rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych \; r, \, \theta, \, z  \; równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych przyjmuje postać:

\;  \frac{1}{r} \frac{\partial (r \, u_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0  \;

lub:

\;  \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{1}{r} u_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0  \;

gdzie \; u_r, \, u_\theta, \, u_z  \; są składowymi wektora prędkości \; {\vec u}  \;.

W przepływie dwuwymiarowym na powierzchni płaskiej rozpatrywanym we współrzędnych cylindrycznych \; r, \, \theta  \; równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

\;  \frac{\partial (r \, u_r)}{\partial r} + \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}  = 0  \;

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję \; \Psi(x,y)  \;, dla której:

\;  u_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, \theta)}{\partial \theta}  \;
\;  u_\theta = - \, \frac{\partial \Psi(r, \theta)}{\partial r}  \;

lub:

\;  u_r = - \, \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, \theta)}{\partial \theta}  \;
\;  u_\theta = \frac{\partial \Psi(r, \theta)}{\partial r}  \;

Podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione toższamosciowo.

W przepływie dwuwymiarowym rozpatrywanym na powierzchni cylindrycznej, tj. we współrzędnych cylindrycznych \; r, \, z  \; równanie ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych redukuje się do postaci:

\;  \frac{1}{r} \frac{\partial (r \, u_r)}{\partial r} + \frac{\partial u_z}{\partial z} = 0  \;

Funkcję prądu można definiować wówczas jako funkcję \; \Psi(x,y)  \;, dla której:

\;  u_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, z)}{\partial z}  \;
\;  u_z = - \, \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, z)}{\partial r}  \;

lub:

\;  u_r = - \, \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, z)}{\partial z}  \;
\;  u_z = \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi(r, z)}{\partial r}  \;

Podobnie jak w przypadku poprzednim nietrudno zauważyć, że podstawienie każdej z alternatywnych par powyższych wyrażeń do równania ciągłości dla przepływów płynów nieściśliwych we współrzędnych cylindrycznych powoduje, że jest ono spełnione tożsamościowo.

Funkcja prądu a linie prądu[edytuj | edytuj kod]

W przepływie płaskim każdej linii prądu przypisać można odpowiadającą jej funkcję prądu. Funkcja prądu uzyskuje wówczas konkretny sens fizykalny. Natężenie przepływu strugi zawartej między dwoma liniami prądu (oznaczonymi poniżej jako 2 oraz 1) równe jest różnicy wartości odpowiadających im funkcji prądu:

\;  Q = \Psi_2 - \Psi_1  \;

Znaczenie pojęcia funkcji prądu[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie funkcji prądu wykorzystywane jest często w mechanice płynów do analizy rozmaitych przypadków przepływu płynów idealnych i rzeczywistych.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Batchelor G.K.: Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
  2. Kotchin N.E., Kibel N.A., Roze N.V.: Teoretitcheskaya gidromekhanika, vol. 1, 2, Moskva, (1955).
  3. Landau L.D., Lifszyc E.M.: Hydrodynamika, Warszawa.
  4. Landau L.D., Lifszyc E.M.: Mechanika ośrodków ciągłych, Warszawa, (1959).
  5. Lamb: Hydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge, (istnieje wiele wydań, poczynając od 1932 roku).
  6. Milne-Thomson: Theoretical Hydrodynamics.
  7. Prosnak W.: Mechanika płynów, t. 1, 2, Warszawa.