Funkcja prostokątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Funkcja prostokątna

Funkcja prostokątna jest zdefiniowana jako[1]

\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0 & \mbox{dla } |t| > \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \mbox{dla } |t| = \frac{1}{2} \\
1 & \mbox{dla } |t| < \frac{1}{2}. \\
\end{cases}

Funkcję prostokątną można wyrazić za pomocą funkcji skokowej Heaviside'a u jako

\operatorname{rect}(t) = u \left( t + \frac{1}{2} \right) \cdot u \left( \frac{1}{2} - t \right) = 
                          u \left( t + \frac{1}{2} \right) - u \left( t - \frac{1}{2} \right),\,

Transformacja Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi

\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt =\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(f),\,

i

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right),\,

gdzie \mathrm{sinc} jest w postaci znormalizowanej.

Relacje te mają zastosowanie w teorii przetwarzania sygnałów i wynika z nich, że realizacja idealnego sygnału prostokątnego wymaga nieskończenie szerokiego pasma w dziedzinie częstotliwości.

Pochodna[edytuj | edytuj kod]

Funkcja prostokątna z uwagi na brak ciągłości nie jest różniczkowalna w sensie klasycznym, ani nie jest słabo różniczkowalna. Jednak możliwe jest wyrażenie pochodnej z funkcji prostokątnej w teorii dystrybucji za pomocą Delty Diraca.

\operatorname{rect}\,' (t) = \delta \left(t + \frac{1}{2} \right) - \delta \left(t - \frac{1}{2} \right)

Statystyka[edytuj | edytuj kod]

Funkcja prostokątna ma zastosowanie przy definiowaniu równomiernego rozkładu prawdopodobieństwa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy