Funkcja q-wykładnicza

Funkcja $q$-wykładnicza – w kombinatoryce, dziale matematyki, $q$-analog funkcji wykładniczej.

Definicja

Funkcję $q$-wykładniczą lub $q$-eksponentę $e_q(z)$ definiuje się jako

$e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)},$

gdzie $[n]_q!$ oznacza $q$-silnię, a

$(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)$

to symbol $q$-Pochhammera. To, że jest to $q$-analog funkcji wykładniczej wynika z własności

$\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z),$

gdzie pochodna po lewej oznacza $q$-pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając $q$-pochodną jednomianu:

$\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} = [n]_q z^{n-1}.$

Symbol $[n]_q$ oznacza $q$-nawias.

Własności

Dla rzeczywistych $q > 1$ funkcja $e_q(z)$ jest funkcją całkowitą zmiennej $z.$ Dla $q < 1$ funkcja $e_q(z)$ jest regularna w kuli $|z| < \tfrac{1}{1-q}.$

Związki

Dla $q < 1$ w bliskim związku z funkcją $q$-wykładniczą jest funkcja $E_q(t)$ spełniająca tożsamość

$e_q(z) = E_q(z(1-q)).$

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego:

$E_q(z) = \;_1\phi_0 (0;q, z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}.$