Funkcja q-wykładnicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja q-wykładnicza – w kombinatoryce, dziale matematyki, q-analog funkcji wykładniczej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcję q-wykładniczą lub q-eksponentę e_q(z) definiuje się jako

e_q(z)= \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (1-q)^n}{(q;q)_n} = \sum_{n=0}^\infty z^n\frac{(1-q)^n}{(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)},

gdzie [n]_q! oznacza q-silnię, a

(q;q)_n=(1-q^n)(1-q^{n-1}) \dots (1-q)

to symbol q-Pochhammera. To, że jest to q-analog funkcji wykładniczej wynika z własności

\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q e_q(z) = e_q(z),

gdzie pochodna po lewej oznacza q-pochodną. Powyższą własność łatwo sprawdzić rozważając q-pochodną jednomianu:

\left(\frac{\operatorname d}{\operatorname dz}\right)_q z^n = z^{n-1} \frac{1-q^n}{1-q} = [n]_q z^{n-1}.

Symbol [n]_q oznacza q-nawias.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla rzeczywistych q > 1 funkcja e_q(z) jest funkcją całkowitą zmiennej z. Dla q < 1 funkcja e_q(z) jest regularna w kuli |z| < \tfrac{1}{1-q}.

Związki[edytuj | edytuj kod]

Dla q < 1 w bliskim związku z funkcją q-wykładniczą jest funkcja E_q(t) spełniająca tożsamość

e_q(z) = E_q(z(1-q)).

Funkcja ta jest przypadkiem szczególnym podstawowego szeregu hipergeometrycznego:

E_q(z) = \;_1\phi_0 (0;q, z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-q^n z}.