Funkcja skokowa Heaviside'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Funkcja Heaviside'a, przy założeniu H(0) = 0,5

Funkcja skokowa Heaviside'a (skok jednostkowy) jest funkcją nieciągłą która przyjmuje wartość 0 dla ujemnych argumentów i wartość 1 w pozostałych przypadkach:

H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \ \mathrm{dla}\ x < 0 \\ 1  \ \mathrm{dla}\ x \ge 0 \end{matrix}\right.

Często stosowanym symbolem, zwłaszcza w środowisku inżynierskim elektryków i elektroników, dla funkcji skokowej Heaviside'a jest \bold{1} \big( t \big) ( np. [1], symbolu tego używał sam Oliver Heaviside[2]). Argument t oznacza tu zazwyczaj czas. Przy zastosowaniach z dziedziny mechaniki, na przykład analizie belek, argumentem tej funkcji może być położenie obciążenia.

Funkcja ta jest używana w przetwarzaniu sygnałów do reprezentowania sygnału włączającego się w danej chwili czasu, w elektrotechnice i elektronice do analizy stanów nieustalonych w obwodach RLC, w automatyce jako sygnał wymuszenia na wejściu układu a także w mechanice do reprezentowania obciążeń belek rozłożonych na pewnej części ich długości.

Skok jednostkowy jest wynikiem całkowania delty Diraca[3]. Wartość funkcji Heaviside'a dla argumentu 0 nie jest szczególnie istotna, ponieważ funkcja jest zazwyczaj używana wewnątrz całki. Niektóre źródła podają H(0) = 0, a inne H(0) = 1. Używa się też wartości H(0) = 0,5 aby uzyskać symetrię funkcji. Definicja H(x) wygląda wtedy następująco[4]:

\int\limits_{-\infty}^x{\delta (t)dt}=H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \ \mathrm{ dla }\ x < 0 \\ \frac{1}{2}\   \mathrm{ dla }\ x = 0 \\ 1 \ \mathrm{ dla }\ x > 0 \end{matrix}\right.

Funkcja skoku jednostkowego spełnia ważną rolę w rachunku operatorowym, m.in. przekształcenie Laplace'a zawiera ją w sposób niejawny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ludwicki M.: Sterowanie procesami w przemyśle spożywczym. Łódź: PTTŻ, 2002.
  2. Paul Nahin: Oliver Heaviside: The Life, Work, and Times of an Electrical Genius of the Victorian Age. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002, s. 220. ISBN 0-8018-6909-9.
  3. Weisstein, Eric W. "Delta Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html
  4. Weisstein, Eric W. "Heaviside Step Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html