Funkcja theta Ramanujana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja theta Ramanujana - uogólnia postać funkcji theta Jacobiego, przy zachowaniu ich ogólnych własności. Przy zapisie zgodnym z funkcją theta Ramanujana iloczyn mieszany Jacobiego przybiera najbardziej przejrzystą formę. Funkcja została nazwana na cześć jej twórcy, hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcję można opisać wzorem:

f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty
a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}

dla |ab|<1. Tożsamość iloczynu mieszanego Jacobiego przybiera postać

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.

Wyrażenie (a;q)_n oznacza symbol q-Pochhammera. Wynikają z tego tożsamości:

f(q,q) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} = 
\frac {(-q;q^2)_\infty (q^2;q^2)_\infty}
{(-q^2;q^2)_\infty (q; q^2)_\infty}

oraz

f(q,q^3) = \sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} = 
\frac {(q^2;q^2)_\infty}{(q; q^2)_\infty}

oraz

f(-q,-q^2) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = 
(q;q)_\infty

ostatnia z nich, będąc funkcją Eulera (nie mylić z funkcją φ) jest ściśle związana z funkcją modularną Dedekinda.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]