Funkcja tworząca momenty silni

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce funkcja tworząca momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach rzeczywistych jest zdefiniowana jako

M_X(t)=\operatorname{E}\bigl[t^{X}\bigr]

dla wszystkich liczb zespolonych t , dla których ta Wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich t na okręgu jednostkowym |t|=1 , patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli X jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy M_X nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa X i M_X(t) jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich t w zamkniętym jednostkowym dysku |t|\le1 .

Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że M_X istnieje w sąsiedztwie t = 1, n-ty moment silni jest dany przez[1]

\operatorname{E}[(X)_n]=M_X^{(n)}(1)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=1} M_X(t),

gdzie symbol Pochhammera (x) n, oznacza silnię dolną

(x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).\,

(Należy uważać, ponieważ niektórzy matematycy, zwłaszcza w dziedzinie funkcji specjalnych używają tej samej notacji do reprezentowania silni górnej).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przyjmijmy że X ma Rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ, wtedy jej funkcja tworząca momenty silni jest

M_X(t) =\sum_{k=0}^\infty t^k\underbrace{\operatorname{P}(X=k)}_{=\,\lambda^ke^{-\lambda}/k!} =e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{(t\lambda)^k}{k!} = e^{\lambda(t-1)},\qquad t\in\mathbb{C},

(korzystamy z definicji funkcji wykładniczej), a więc mamy

\operatorname{E}[(X)_n]=\lambda^n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy