Funkcja unimodalna

Funkcja unimodalna – w matematyce funkcja ciągła, dla której w zadanym przedziale istnieje maksymalnie jedno ekstremum lokalne.

Unimodalność jest wymagana do poprawnego działania wielu metod optymalizacyjnych (np. metody złotego podziału), służących do wyszukiwania lokalnych minimów funkcji.

Definicja

Niech dana będzie funkcja $f$, ciągła w swojej dziedzinie:

$\mathbb{R} \supset [a,b] \ni x \mapsto f(x) \in \mathbb{R}$

Funkcja $f$ jest unimodalna w przedziale $[a,b]$, jeżeli dla dowolnych $x_1 \in [a,b]$ i $x_2 \in [a,b]$ zachodzi:

• Jeśli $x_1 < x_2 < x^{\ast}$, to $f(x_1) > f(x_2) > f(x^{\ast})$, oraz
• Jeśli $x^{\ast} < x_1 < x_2$, to $f(x^{\ast}) < f(x_1) < f(x_2)$

gdzie $x^\ast$ stanowi minimum funkcji w przedziale $[a,b]$

Innymi słowy funkcja jest unimodalna jeśli istnieje taka wartość $x^{\ast} \in [a,b]$, że

• dla $x<x^{\ast}$ funkcja jest ściśle malejąca
• dla $x>x^{\ast}$ funkcja jest ściśle rosnąca

Zobacz też

• metoda złotego podziału

Linki zewnętrzne

• http://optymalizacja.w8.pl/Jednowymiarowa.html