Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

f(x)=a^{x}, gdzie a>0.

Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa a funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla a = 1 funkcja  a^x jest funkcją stałą.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • \quad  a^{x+y}=a^x \cdot a^y
  • \quad  a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}}
  • Dla a>1\quad funkcja wykładnicza o podstawie a\quad jest rosnąca, dla 0<a<1\quad malejąca. Jeśli \quad a=1 to funkcja \quad  f(x)=a^x jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:
(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla a=e\quad mamy

(e^x)'=e^x\quad
  • Funkcja wykładnicza o podstawie a>1 jest (przy argumencie dążącym do +\infty) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna[edytuj | edytuj kod]

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej e (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest \exp(x) (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji f(x)=e^x\quad jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

\dot{x}=x

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

\exp(x)= \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{x}{n}\right)^n

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.

Wykres funkcji y=e^x\quad:

Exp plot real.png

Płaszczyzna zespolona[edytuj | edytuj kod]

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}

Jest to funkcja okresowa z okresem 2 \pi i i można ją zapisać jako:

e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)\,

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

  • e^{z + w} = e^z e^w\,
  • e^0 = 1\,
  • e^z \ne 0
  • {d \over dz} e^z = e^z
  • \,(e^z)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z}

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1978. str. 87
Wikimedia Commons