Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja zespolona zmiennej zespolonej – funkcja zespolona , której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb zespolonych :
f
:
X
→
C
,
X
⊆
C
.
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} ,X\subseteq \mathbb {C} .}
Przyjmując
z
=
x
+
i
y
,
{\displaystyle z=x+iy,}
x
,
y
∈
R
,
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}
i
{\displaystyle i}
jednostką urojoną , funkcję zespoloną zmiennej zespolonej
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
f
(
z
)
=
f
(
x
+
i
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}
gdzie
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych rzeczywistych
x
{\displaystyle x}
y
.
{\displaystyle y.}
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
częścią rzeczywistą funkcji
f
(
z
)
,
{\displaystyle f(z),}
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(x,y)}
częścią urojoną funkcji
f
(
z
)
:
{\displaystyle f(z){:}}
u
(
x
,
y
)
=
re
f
(
z
)
=
ℜ
f
(
z
)
,
{\displaystyle u(x,y)=\operatorname {re} \;f(z)=\Re f(z),}
v
(
x
,
y
)
=
im
f
(
z
)
=
ℑ
f
(
z
)
.
{\displaystyle v(x,y)=\operatorname {im} \;f(z)=\Im f(z).}
W przypadku funkcji
f
(
z
)
=
z
2
{\displaystyle f(z)=z^{2}}
jest
f
(
z
)
=
z
2
=
(
x
+
i
y
)
2
=
x
2
+
2
i
x
y
−
y
2
=
x
2
−
y
2
+
2
i
x
y
,
{\displaystyle f(z)=z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-y^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy,}
zatem
u
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
,
{\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2},}
v
(
x
,
y
)
=
2
x
y
.
{\displaystyle v(x,y)=2xy.}
