Funkcje Bessela

Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

$x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{d y}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0$

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego.

Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela.

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Z funkcjami tymi mamy do czynienia, jeśli wartości rozwiązania przy x=0 są liczbami skończonymi:

$J_\alpha(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\alpha}}{k!\Gamma(k+\alpha+1)}$,

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Zera funkcji Bessela

W zastosowaniach przydatna jest znajomość położenia zer funkcji Bessela. Poniżej przedstawiono tabelę pierwszych trzech miejsc zerowych funkcji J₀,J₁ i J₂

	J0(x)	J1(x)	J2(x)
1	2.4048	0	0
2	5.5201	3.8317	5.136
3	8.6537	7.0156	8.417

Całki Bessela

Funkcje Bessela, dla całkowitych wartości n, zdefiniować można za pomocą całki:

$J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.$

Takie podejście stosował Bessel i stosująć tę definicję wyprowadził szereg właściwości tych funkcji.

Zbliżona do poprzedniej jest poniższa definicja całkowa:

$J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.$

Powyższa całka może być przekształcona do postaci

$J_n (x)= \frac{\mathrm{i}^{-n}}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}x\cos \theta}e^{\mathrm{i}n\theta}\mathrm{d}\theta.$

W szczególności dla n = 0

$J_0 (x)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}x\cos \theta}\mathrm{d}\theta.$

Rozwinięcie w szereg potęgowy

$J_n(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}$

Funkcje Bessela drugiego rodzaju

Zwane są również funkcjami Neumanna i występują wówczas, gdy dla x=0 wartości rozwiązań dążą do nieskończoności:

$Y_{\alpha}(x) = \lim_{\nu \to \alpha}\frac{J_\nu(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)},$

Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Funkcja generująca funkcje Bessela

Jeżeli rozwiniemy funkcję g(x, t) postaci $g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) }$

w szereg Laurenta względem zmiennej t, to współczynniki tego rozwinięcia będą funkcjami Bessela I rodzaju.

$g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) } = \sum _{n = -\infty}^{\infty} J_{n}(x) t^{n}$