Funkcje Bessela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{d y}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego.

Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela.

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

Funkcje Bessela pierwszego rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Z funkcjami tymi mamy do czynienia, jeśli wartości rozwiązania przy x=0 są liczbami skończonymi:

J_\alpha(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\alpha}}{k!\Gamma(k+\alpha+1)},

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Zera funkcji Bessela[edytuj | edytuj kod]

W zastosowaniach przydatna jest znajomość położenia zer funkcji Bessela. Poniżej przedstawiono tabelę pierwszych trzech miejsc zerowych funkcji J_0,J_1 i J_2

J_0(x)  J_1(x)  J_2(x)
1 2.4048 0 0
2 5.5201 3.8317 5.136
3 8.6537 7.0156 8.417

Całki Bessela [1]

Funkcje Bessela, dla całkowitych wartości n, zdefiniować można za pomocą całki:

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.

Takie podejście stosował Bessel i stosująć tę definicję wyprowadził szereg właściwości tych funkcji.

Zbliżona do poprzedniej jest poniższa definicja całkowa:

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.

Powyższa całka może być przekształcona do postaci

J_n (x)= \frac{\mathrm{i}^{-n}}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}x\cos \theta}e^{\mathrm{i}n\theta}\mathrm{d}\theta.

W szczególności dla n=0

J_0 (x)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\mathrm{i}x\cos \theta}\mathrm{d}\theta.

Rozwinięcie w szereg potęgowy[edytuj | edytuj kod]


     J_n(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}

Funkcje Bessela drugiego rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Zwane są również funkcjami Neumanna i występują wówczas, gdy dla x=0 wartości rozwiązań dążą do nieskończoności:

Y_{\alpha}(x) = \lim_{\nu \to \alpha}\frac{J_\nu(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)},
Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

Funkcja generująca funkcje Bessela[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli rozwiniemy funkcję g(x, t) postaci 
g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) }

w szereg Laurenta względem zmiennej t, to współczynniki tego rozwinięcia będą funkcjami Bessela I rodzaju.


g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) } = \sum _{n = -\infty}^{\infty} J_{n}(x) t^{n}

Zmodyfikowane funkcje Bessela[edytuj | edytuj kod]

Funkcje Hankela[edytuj | edytuj kod]

Zmodyfikowane funkcje Hankela[edytuj | edytuj kod]

Właściwości funkcji[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. [I.S. Grandshteyn, I.M. Ryzbik "Table of Integrals, Series and Products", Academic Press, 2000, ISBN 0-12-294757-6]