Funkcje hiperboliczne odwrotne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji area
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji odwrotnych do trygonometrycznych

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Ich nazwy odzwierciedlają fakt, że wartości tych funkcji są równe polom odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej x^2-y^2=1\;, w analogiczny sposób, jak Funkcje odwrotne do trygonometrycznych są równe polom wycinków koła jednostkowego x^2+y^2=1.\;

Definiuje się je następującymi wzorami:

\operatorname{arsinh}\ x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})
(area sinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego
\operatorname{arcosh}\ x = \ln(x + \sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1})
(area cosinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego
\operatorname{artgh}\ x = \ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x} = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\frac{1+x}{1-x}
(area tangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego
\operatorname{arctgh}\ x = \ln\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln \frac{x + 1}{x - 1}
(area cotangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego
\operatorname{arsech}\ x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)
(area secans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego
\operatorname{arcsch}\ x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)
(area cosecans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Dla argumentów i wyników funkcji będących liczbami rzeczywistymi powyższe wzory da się uprościć, np. przez \sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}.

Area sinus[edytuj | edytuj kod]

Area sinus hiperboliczny
Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej
Area tangens hiperboliczny
Area cotangens hiperboliczny
Area secans hiperboliczny
Area cosecans hiperboliczny

Dziedziną i przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R}. Funkcja w punkcie x=0 ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinus[edytuj | edytuj kod]

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej - jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale [1; +\infty). Ogólnie dla liczb rzeczywistych:

\operatorname{arcosh}\ x = \ln(x\pm \sqrt{x^2-1})

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

\operatorname{arcosh}_1\ x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})

oraz

\operatorname{arcosh}_2\ x = \ln(x-\sqrt{x^2-1})

Dziedziną funkcji jest przedział [1,\infty)\,.

Area tangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział (-1,1)\,, jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: x=-1,\;x=1\,.

Area cotangens[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział (-\infty,-1)\cup(1,\infty)\,. Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: y=0,\;x=-1,\;x=1\,.

Area secans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną funkcji jest przedział (0;1]\, . Funkcja ma asymptotę o równaniu x = 0\,

Area cosecans[edytuj | edytuj kod]

Dziedziną jest \mathbb{R}\setminus \{0\}\, . Funkcja ma dwie asymptoty: x = 0\, i y = 0\, .

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki[edytuj | edytuj kod]

  • \int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}\ x = -\operatorname{arccos}\ x + \frac {\pi}{2}+C
  • \int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh}\ x+C = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})+C
  • \int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh}\ x+C = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})+C
  • \int \sqrt{1 - x^2}\ dx = \frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsin}\ x + x\sqrt{1 - x^2}\right)+C
  • \int \sqrt{x^2 + 1}\ dx = \frac{1}{2}\left(\operatorname{arsinh}\ x + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C=\frac{1}{2}\left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C
  • \int \sqrt{x^2 - 1}\ dx = \frac{1}{2}\left(- \operatorname{arcosh}\ x + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C= \frac{1}{2}\left(- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C
  • \int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctg}\ x+C
  • \int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{artgh}\ x+C = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C

Związek z funkcjami cyklometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

\operatorname{arsinh}x = i \arcsin(-ix)
\operatorname{arcosh}x = i \arccos x
\operatorname{artgh}x = i \operatorname{arctg}(-ix)

Pochodne funkcji area[edytuj | edytuj kod]

  • \frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}\ x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
  • pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:
\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}_1\ x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}_2\ x=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}
  • \frac{d}{dx}\operatorname{artgh}\ x = \frac{1}{1-x^2}
  • \frac{d}{dx}\operatorname{arctgh}\ x = \frac{-1}{x^2-1}
  • \frac{d}{dx}\operatorname{arsech}\ x = -\frac{1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
  • \frac{d}{dx}\operatorname{arcsch}\ x = -\frac{1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}

Właściwości analityczne[edytuj | edytuj kod]