Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \left[-1; 1\right] (czyli obrazie przedziału \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] przez funkcję \operatorname{sin}\,).
  • arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale \left[0,\pi\right]. W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \left[-1; 1\right] (czyli obrazie przedziału \left[0,\pi\right] przez funkcję \operatorname{cos}\,).
  • arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) . W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze \mathbb{R} (czyli obrazie przedziału \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) przez funkcję \operatorname{tg}\,).
  • arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale \left(0, \pi\right) . W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze \mathbb{R} (czyli obrazie przedziału \left(0, \pi\right) przez funkcję \operatorname{ctg}).
  • arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale \left[0, \pi\right] . W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): \left[0, \tfrac{\pi}{2}\right) , \left(\tfrac{\pi}{2}, \pi\right] , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right) (czyli obrazie przedziału \left[0, \pi\right] przez funkcję \operatorname{sec}\,).
  • arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] . W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): \left[-\tfrac{\pi}{2}, 0\right) , \left(0, \tfrac{\pi}{2}\right] , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale \left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right) (czyli obrazie przedziału \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] przez funkcję \operatorname{csc}\,).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • \operatorname{arcsin}\ x = y gdy \operatorname{sin}\ y = x
  • \operatorname{arccos}\ x = y gdy \operatorname{cos}\ y = x
  • \operatorname{arctg}\ x = y gdy \operatorname{tg}\ y = x
  • \operatorname{arcctg}\ x = y gdy \operatorname{ctg}\ y = x
  • \operatorname{arcsec}\ x = y gdy \operatorname{sec}\ y = x
  • \operatorname{arccsc}\ x = y gdy \operatorname{csc}\ y = x

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest \left[-1; 1\right] , a przeciwdziedziną \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest \left[-1; 1\right] , a przeciwdziedziną \left[0, \pi\right]
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest \mathbb{R} , a przeciwdziedziną \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest \mathbb{R} , a przeciwdziedziną \left(0, \pi\right)
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: \left(-\infty, -1\right] , \left[1, +\infty\right) . Jej dziedziną jest \left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right) , a przeciwdziedziną \left[0, \pi\right]\setminus\{\frac{\pi}{2}\} .
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: \left(-\infty, -1\right] , \left[1, +\infty\right) . Jej dziedziną jest \left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right) , a przeciwdziedziną \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

\operatorname{arcsin}\ x + \operatorname{arccos}\ x = \frac{\pi}{2}
\operatorname{arctg}\ x + \operatorname{arcctg}\ x = \frac{\pi}{2}
\operatorname{arcsec}\ x + \operatorname{arccsc}\ x = \frac{\pi}{2}

Argumenty ujemne:

\operatorname{arcsin}\ (-x) = -\operatorname{arcsin}\ x
\operatorname{arccos}\ (-x) = \pi - \operatorname{arccos}\ x
\operatorname{arctg}\ (-x) = -\operatorname{arctg}\ x
\operatorname{arcctg}\ (-x) = \pi -\operatorname{arcctg}\ x
\operatorname{arcsec}\ (-x) = \pi - \operatorname{arcsec}\ x
\operatorname{arccsc}\ (-x) = -\operatorname{arccsc}\ x

Odwrotności argumentów:

\operatorname{arcsin}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arccsc}\ x
\operatorname{arccos}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcsec}\ x
\operatorname{arctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcctg}\ x\ ;\ x > 0
\operatorname{arctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcctg}\ x - \pi\ ;\ x < 0
\operatorname{arcctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arctg}\ x\ ;\ x > 0
\operatorname{arcctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arctg}\ x + \pi\ ;\ x < 0
\operatorname{arcsec}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arccos}\ x
\operatorname{arccsc}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcsin}\ x


Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \operatorname{arcsin}\;0 = 0
  • \operatorname{arcsin}\;\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}
  • \operatorname{arcsin}\;1 = \frac{\pi}{2}
  • \operatorname{arccos}\;0 = \frac{\pi}{2}
  • \operatorname{arccos}\;\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}
  • \operatorname{arccos}\;(-1) = \pi
  • \operatorname{arctg}\;0 = 0
  • \operatorname{arctg}\;1 = \frac{\pi}{4}
  • \operatorname{arcctg}\;0 = \frac{\pi}{2}
  • \operatorname{arcctg}\;1 = \frac{\pi}{4}

Oto wykresy funkcji y = \operatorname{arcsin}\ x , y = \operatorname{sin}\ x oraz prosta y = x\, . Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Arcus sinus

Analogicznie, wykresy funkcji y = \operatorname{arccos}\ x , y = \operatorname{cos}\ x są symetryczne względem prostej y = x\, .

Arcus cosinus

Wykresy funkcji y = \operatorname{arctg}\ x , y = \operatorname{tg}\ x są symetryczne względem prostej y = x\, .

Arcus tangens

Wykresy funkcji y = \operatorname{arcctg}\ x , y = \operatorname{ctg}\ x są symetryczne względem prostej y = x\,.

Arcus cotangens