Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja $f\;$ jest:

• parzysta, jeżeli spełnia równanie $f(x) = f(-x)\;$ (symetria względem zmiany znaku argumentu);
• nieparzysta, jeżeli spełnia równanie $f(-x) = -f(x)\;$ (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich $x\;$ należących do dziedziny funkcji $f\;$. Powyższe równości wymagają, aby wraz z $x\;$ do dziedziny należał również punkt $-x\;$, stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste

• wartość bezwzględna $f(x) = |x|$,
• funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $f(x) = x^{2k}$ , gdzie $k\in \mathbb N$,
• funkcja trygonometryczna $f(x )= \cos x$,
• funkcja hiperboliczna $f(x) = \cosh x$,
• wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $f(x) = x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4$).

Funkcje nieparzyste

• funkcja liniowa $f(x) = ax$ (proporcjonalność prosta),
• funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: $f(x) = x^{2k+1}, k\in \mathbb N$,
• funkcje trygonometryczne $\ f(x) = \sin x$ , $f(x) = \operatorname{tg} x$   i   $f(x) = \operatorname{ctg} x$,
• funkcje hiperboliczne $f(x) = \operatorname{sinh} x$ , $f(x) = \operatorname{tgh} \,\! x$   i   $f(x) = \operatorname{ctgh} x$
• wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. $f(x) = x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi}x$),

Własności

• Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
• Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
• Każdą funkcję $f$, dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej $g$ i nieparzystej $h$, gdzie dla każdego $x$ z dziedziny

  $g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ oraz $h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

• Niech $f_1,\,f_2$ będą funkcjami parzystymi, a $g_1,\,g_2\;$ funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
  • $f_1 \cdot f_2,\ g_1 \cdot g_2$ oraz $f_1/f_2,\ g_1/g_2\;$ (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
  • $f_1 \cdot g_1$ oraz $f_1/g_1\;$ (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
  • $f_1 \circ f_2,\ f_1 \circ g_1,\ g_1 \circ f_1\;$ jest funkcją parzystą ($\circ\;$ jest tu złożeniem funkcji),
  • $g_1 \circ g_2$ jest funkcją nieparzystą.

Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY$, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli $0$ należy do dziedziny nieparzystej funkcji $f$, to $f(0) = 0\;$ (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla pierścieni, a nawet grup.