Funkcje parzyste i nieparzyste

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcje parzyste i nieparzystefunkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja f\; jest:

  • parzysta, jeżeli spełnia równanie f(x) = f(-x)\; (symetria względem zmiany znaku argumentu);
  • nieparzysta, jeżeli spełnia równanie f(-x) = -f(x)\; (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich x\; należących do dziedziny funkcji f\;. Powyższe równości wymagają, aby wraz z x\; do dziedziny należał również punkt -x\;, stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcje parzyste
Funkcje nieparzyste

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.
  • Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
  • Każdą funkcję f, dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej g i nieparzystej h, gdzie dla każdego x z dziedziny
    g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} oraz h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
  • Niech f_1,\,f_2 będą funkcjami parzystymi, a g_1,\,g_2\; funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
    • f_1 \cdot f_2,\ g_1 \cdot g_2 oraz f_1/f_2,\ g_1/g_2\; (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
    • f_1 \cdot g_1 oraz f_1/g_1\; (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
    • f_1 \circ f_2,\ f_1 \circ g_1,\ g_1 \circ f_1\; jest funkcją parzystą (\circ\; jest tu złożeniem funkcji),
    • g_1 \circ g_2 jest funkcją nieparzystą.

Wykresy[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli 0 należy do dziedziny nieparzystej funkcji f, to f(0) = 0\; (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).

Rozszerzenie na inne algebry[edytuj | edytuj kod]

Zwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla pierścieni, a nawet grup.