Funkcje specjalne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Funkcje związane z Symbol Nazwa Komentarz
funkcją Γ \Gamma(z) Funkcja gamma Eulera uogólnienie silni
\psi(z) Logarytmiczna pochodna funkcji gamma zwana również funkcją digamma
\psi^{(n)}(z) Funkcja poligamma
\Beta(x,y) Funkcja beta Eulera powiązana ze współczynnikami dwumianowymi
funkcją błędu i całkami wykładniczymi \mathrm{erf}(x) Funkcja błędu Gaussa ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa
\mathrm{erfc}(x) Uzupełniająca funkcja błędu
\omega(x) Zespolona funkcja błędu
S(z), C(z) Całki Fresnela (sinus i cosinus Fresnela) stosowane w optyce
\mathrm{ei}\,x Funkcja całkowo-wykładnicza
\mathrm{li}\,x Logarytm całkowy
\mathrm{si}\,x,\mathrm{ci}\,x,\mathrm{shi}\,x Sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny
z funkcją ζ \zeta(z) Funkcja dzeta Riemanna ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna
\eta(z) Funkcja eta Dirichleta
\mathrm{Li}_\nu(z) Polilogarytmy
całkami i funkcjami eliptycznymi F(k,\psi),E(k,\psi) Całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy
\mathrm K(k),\mathrm E(k) Całki eliptyczne zupełne I i II stopnia otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2
\mathrm{sn}(u,k),\mathrm{cn}(u,k) Funkcje eliptyczne Jacobiego odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy
F(a,b;c;z) Funkcja hipergeometryczna za pomocą tej funkcji można łatwo wyrazić całki eliptyczne oraz wiele innych znanych funkcji
wielomianami ortogonalnymi P_n(x) Wielomiany Legendre'a rozwiązania równania Legendre'a
P_n^m(x) Stowarzyszone wielomiany Legendre'a
L_n(x) Wielomiany Laguerre'a występują m.in. w mechanice kwantowej
L_n^\alpha(x) Stowarzyszone wielomiany Laguerre'a dla α=0 otrzymuje się "normalne" wielomiany Laguerre'a
H_n(x) Wielomiany Hermite'a
T_n(x), U_n(x) Wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju
G_n^m(x) Wielomiany Gegenbauera
J_n^{(a,b)}(x) Wielomiany Jacobiego można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre'a oraz Czebyszewa I i II rodzaju
Y_{lm}(\theta,\phi) Harmoniki sferyczne mają zastosowanie w astronomii, mechanice i elektromagnetyzmie
funkcjami Bessela J_\nu(z), Y_\nu(z) Funkcje Bessela zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektromagnetyzmie
I_\nu(x), K_\nu(x) Zmodyfikowane funkcje Bessela
H_\nu^{(1)}(x), H_\nu^{(2)}(x) Funkcje Hankela
funkcjami odwrotnymi \mathrm{gd}\,x Funkcja Gudermanna amplituda hiperboliczna, gudermanian
W(x) Funkcja W Lamberta funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex

Inne funkcje specjalne: