Funkcje specjalne

Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Funkcje związane z	Symbol	Nazwa	Komentarz
funkcją Γ	$\Gamma(z)$	Funkcja gamma Eulera	uogólnienie silni
	$\psi(z)$	Logarytmiczna pochodna funkcji gamma	zwana również funkcją digamma
	$\psi^{(n)}(z)$	Funkcja poligamma
	$\Beta(x,y)$	Funkcja beta Eulera	powiązana ze współczynnikami dwumianowymi
funkcją błędu i całkami wykładniczymi	$\mathrm{erf}(x)$	Funkcja błędu Gaussa	ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa
	$\mathrm{erfc}(x)$	Uzupełniająca funkcja błędu
	$\omega(x)$	Zespolona funkcja błędu
	$S(z), C(z)$	Całki Fresnela (sinus i cosinus Fresnela)	stosowane w optyce
	$\mathrm{ei}\,x$	Funkcja całkowo-wykładnicza
	$\mathrm{li}\,x$	Logarytm całkowy
	$\mathrm{si}\,x,\mathrm{ci}\,x,\mathrm{shi}\,x$	Sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny
z funkcją ζ	$\zeta(z)$	Funkcja dzeta Riemanna	ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna
	$\eta(z)$	Funkcja eta Dirichleta
	$\mathrm{Li}_\nu(z)$	Polilogarytmy
całkami i funkcjami eliptycznymi	$F(k,\psi),E(k,\psi)$	Całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia	pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy
	$\mathrm K(k),\mathrm E(k)$	Całki eliptyczne zupełne I i II stopnia	otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2
	$\mathrm{sn}(u,k),\mathrm{cn}(u,k)$	Funkcje eliptyczne Jacobiego	odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy
	$F(a,b;c;z)$	Funkcja hipergeometryczna	za pomocą tej funkcji można łatwo wyrazić całki eliptyczne oraz wiele innych znanych funkcji
wielomianami ortogonalnymi	$P_n(x)$	Wielomiany Legendre'a	rozwiązania równania Legendre'a
	$P_n^m(x)$	Stowarzyszone wielomiany Legendre'a
	$L_n(x)$	Wielomiany Laguerre'a	występują m.in. w mechanice kwantowej
	$L_n^\alpha(x)$	Stowarzyszone wielomiany Laguerre'a	dla α=0 otrzymuje się "normalne" wielomiany Laguerre'a
	$H_n(x)$	Wielomiany Hermite'a
	$T_n(x), U_n(x)$	Wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju
	$G_n^m(x)$	Wielomiany Gegenbauera
	$J_n^{(a,b)}(x)$	Wielomiany Jacobiego	można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre'a oraz Czebyszewa I i II rodzaju
	$Y_{lm}(\theta,\phi)$	Harmoniki sferyczne	mają zastosowanie w astronomii, mechanice i elektromagnetyzmie
funkcjami Bessela	$J_\nu(z), Y_\nu(z)$	Funkcje Bessela	zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektromagnetyzmie
	$I_\nu(x), K_\nu(x)$	Zmodyfikowane funkcje Bessela
	$H_\nu^{(1)}(x), H_\nu^{(2)}(x)$	Funkcje Hankela
funkcjami odwrotnymi	$\mathrm{gd}\,x$	Funkcja Gudermanna	amplituda hiperboliczna, gudermanian
	$W(x)$	Funkcja W Lamberta	funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex

Inne funkcje specjalne:

• funkcje Mathieu - funkcje eliptycznego cylindra
• funkcje Webera-Hermite'a - funkcje parabolicznego cylindra
• funkcje Heinego
• funkcje Wangereina
• funkcje Blasiusa
• funkcje Falknera-Skanna