Zbieżność jednostajna
|
Ten artykuł od 2024-03 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. |
Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie niepustym zbiorem, a oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg funkcji jest jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli
Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:
Jeśli ciąg funkcji zbiega jednostajnie do funkcji to o mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu i pisze
Jeżeli jest przestrzenią topologiczną, to ciąg funkcji jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji jeżeli dla każdego zbioru zwartego ciąg jest jednostajnie zbieżny.
Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]
- W 1821 Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa szeregu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą[1]. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel[2][3] podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia, używając szeregów Fouriera.
- Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy’ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej[4]: zbieżność jednostajną.
- W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
- Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
- Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta i połóżmy dla Wówczas
- Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła gdzie i jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
- Rozważmy funkcje zadane w dziedzinie wzorem dla Niech będzie dana wzorem
- Wówczas lecz
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
- Jeśli oraz i a to
- jeśli dodatkowo funkcje i są ograniczone, to
- jeśli ponadto dla pewnego dla każdego zachodzi to
- Jeśli są ciągłe i oraz to (twierdzenie Diniego)
- Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, a są funkcjami ciągłymi, przy czym to również jest funkcją ciągłą.
- Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, jest przestrzenią zupełną, a to:
do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, tzn.
- Jeśli są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że oraz ciąg funkcji pochodnych to funkcja jest różniczkowalna i
Pojęcia pokrewne[edytuj | edytuj kod]
Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.
Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a będą dla dowolnymi funkcjami.
- Ciąg zbiega ciągle do funkcji jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni jeśli to
- Ciąg zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji jeśli
- dla każdego ciągu elementów przestrzeni jeśli ciąg jest zbieżny w to także ciąg jest zbieżny oraz
Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa się z pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.
Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego
Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]
- Zobacz też:
Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń Dla określamy
Wówczas jest metryką na zbiorze nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.
- Jeśli jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci
- Jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią zupełną, to również jest przestrzenią zupełną.
- jest przestrzenią polską.
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
- topologia zwarto-otwarta
- zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego
- zbieżność monotoniczna
- zbieżność punktowa ciągu funkcji
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 168.
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 176-178.
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 181.
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 180-181.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), s. 1–74.
- Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921.
- Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. siódme rozszerzone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 9.
- Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 47.
- Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 61. ISBN 83-01-05714-9.
- Kuratowski, Kazimierz: Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Uniform Convergence, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].