Gęstość stanów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Gęstość stanów jest funkcją opisującą w mechanice kwantowej na ile sposobów cząstka może posiadać daną energię. Iloczyn \rho (E) dE opisuje liczbę stanów energetycznych w przedziale (E, E+dE).

W fizyce klasycznej cząstka o danej energii E posiada prędkość określoną jako

v = \sqrt{ \frac{2E}{m} }

Wektor prędkości może być skierowany w dowolnym kierunku, więc dla danej energii istnieje nieskończenie wiele możliwych kierunków ruchu, czyli \rho (E) \equiv \infty. W mechanice kwantowej sytuacja jest bardziej skomplikowana - funkcja falowa ma zwykle ściśle określone warunki brzegowe, lub warunki periodyczności, np. dla cząstki zamkniętej w sześciennym pudełku wymagamy, aby funkcja falowa znikała na ścianach pudełka. Należy uwzględnić iż funkcja falowa zanika na ścianach tylko wtedy kiedy mamy do czynienia z nieskończonym potencjałem na ściankach, przy skończonych wartościach funkcja falowa wnika w barierę i wtedy warunkiem brzegowym jest ciągłość oraz ciągłość pierwszej pochodnej (gładkość) na granicy pudełko-bariera.

Funkcje gęstości stanów:

1D - \rho(E) = \frac{ \sqrt{m} L }{ \sqrt{2} \hbar} \frac{1}{ \sqrt{E} }

2D - \rho(E) = \frac{ 2\pi m L ^{2} } {\hbar ^{2} }

3D - \rho(E) = \frac{ 2\pi (2m) ^{ \frac{3}{2} } L ^ 3 }{\hbar ^{3}} \sqrt{E}