Gaz Fermiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Foka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

\hat{H}=\sum_{n}\epsilon_{n}a^{\dagger}_{n}a_{n} = \sum_{n}(E _{n} + \mu)a^{\dagger}_{n}a_{n}

gdzie

En – energia n-tego stanu
μpotencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Do dalszych obliczeń przyjmiemy μ = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

N = \int\limits _{0} ^{\infty} dE \rho(E) \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}

gdzie

\rho(E) = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}gęstość stanów
m – masa fermionów
hstała Plancka
V – objętość, w której znajdują się fermiony
\frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}rozkład Fermiego-Diraca
\beta = \frac{1}{k_{B}T} – czynnik Boltzmanna
N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \sqrt{E} \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}  \beta ^{-\frac{3}{2}} \int\limits _{0} ^{\infty} dx
 \frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 \Gamma \left(\frac{3}{2} \right)\eta \left(\frac{3}{2} \right). Ostatecznie otrzymujemy:


N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}  (k _{B}T) ^{\frac{3}{2}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \eta \left(\frac{3}{2} \right)

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \frac{ E^{\frac{3}{2}} }{\exp(\beta E ) + 1}

otrzymujemy:


U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}}  (k _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{5}{2} \right) \eta \left(\frac{5}{2} \right)

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:


U =\frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) }  N k_{B}T
\propto N k_{B} T

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego[edytuj | edytuj kod]

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

p=\frac{\partial U}{\partial V}
= \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) }  \frac{\partial N}{ \partial V} k_{B}T

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

\frac{\partial N}{ \partial V} = \frac{N}{V} = n

gdzie

n – liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek. Stąd


p = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } n k_{B}T
\propto n k_{B} T

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]