Geometria hiperboliczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Geometrię hiperboliczną otrzymuje się z geometrii euklidesowej w wyniku zastąpienia pewnika o prostych równoległych następującym postulatem hiperbolicznym:

"Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste nie mające wspólnych punktów z tą prostą."

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwsze wyniki w geometrii hiperbolicznej otrzymał około roku 1700 Giovanni Gerolamo Saccheri, który starał się wykazać prawdziwość pewnika o prostych równoległych metodą sprowadzenia do sprzeczności. Założywszy zaprzeczenie wspomnianego pewnika starał się wyprowadzić stąd sprzeczność z przyjętymi założeniami. Były to twierdzenia geometrii hiperbolicznej, czego Saccheri nie uznawał i uznawszy je za wystarczająco (według ówczesnych pojęć) absurdalne, uznał sprawę za rozwiązaną przyjmując ich absurdalność za szukaną sprzeczność. Ponownie, choć tym razem świadomie, geometria hiperboliczna została odkryta przez Bolyaia, Gaussa i Łobaczewskiego, którego nazwiskiem jest czasem nazywana. Łobaczewski opublikował swoje rezultaty w roku 1830, a Bolyai, niezależnie od rosyjskiego matematyka, w dwa lata później.

Geometria hiperboliczna okazuje się być szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna o stałej i ujemnej krzywiźnie. Stąd też pochodzi nazwa hiperboliczna, gdyż w zależności od krzywizny Riemann nazwał uzyskane przez siebie geometrie eliptyczną (dla krzywizny dodatniej), paraboliczną (dla krzywizny zero) oraz hiperboliczną (dla krzywizny ujemnej).

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Trójkąt oraz dwie proste przedstawione na powierzchni o geometrii hiperbolicznej

Geometria hiperboliczna ma wiele właściwości innych od geometrii euklidesowej, z których każda jest konsekwencją postulatów hiperbolicznych. Oto niektóre fakty i twierdzenia geometrii hiperbolicznej:

Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie (a nawet nieskończenie wiele) prostych nie przecinających danej.

Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą zagradzającą kąta.

Suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż π.

W geometrii hiperbolicznej obok jednostki rozwartości kąta (patrz radian) można także zdefiniować jednostkę długości/pola (w przeciwieństwie do geometrii euklidesowej, w której można to zrobić jedynie z kątem). Jeżeli mianowicie uzna się odległość wierzchołka kąta prostego od jego rzutu prostokątnego na zagradzającą za równą \ln (\sqrt 2+1) to pole każdego trójkąta jest równe π minus suma rozwartości jego kątów.

Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej rozwartości są do siebie przystające. W geometrii euklidesowej spełnienie tego warunku gwarantuje jedynie podobieństwo.

Modele[edytuj | edytuj kod]

Są cztery zwykle stosowane modele geometrii hiperbolicznej.

Model Kleina

Model Kleina wnętrza koła jako płaszczyzny hiperbolicznej i cięciwy tego koła jako linii. Zaletą tego modelu jest prostota, ale wadą jest to, że kąty w płaszczyźnie hiperbolicznej są zniekształcone.

Model dysku Poincaré

Model dysku Poincaré także angażuje wnętrze koła, ale linie są reprezentowane przez łuki kół prostopadłych do granicy koła oraz przez średnice okręgu.

Model półpłaszczyzny Poincaré za płaszczyznę hiperboliczną przyjmuje półpłaszczyznę Euklidesa jako określoną przez Euklidesa linię B (samo B nie jest włączane). Hiperboliczne linie są więc zarówno półokręgami prostopadłymi do B jak i promieniami prostopadłymi do B.

Oba modele Poincaré zachowują hiperboliczne kąty i tym samym odpowiadają wymaganiom. Wszystkie izometrie objęte tym modelem są zatem transformacjami Möbiusa.

Czwarty model jest modelem Minkowskiego, który stosuje N-wymiarową hiperboloidę o obrocie osadzonym w (N+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ten model stosuje metrykę, mocą której odległość (a właściwie jej cosinus hiperboliczny) między dwoma punktami x i y na hiperboloidzie wyraża się wzorem:d_{2}=-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}...+x_{N}y_{N}-x_{N+1}y_{N+1}). Ta sama metryka jest używana w szczególnej teorii względności w odniesieniu do czasoprzestrzeni.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]