Graf dwudzielny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.




Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
stopień grafu
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów


Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny


Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
wszerz
w głąb
najbliższego sąsiada


Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem marszrutyzacji
problem kojarzenia małżeństw


Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego
kod Prüfera


Przykładowy graf dwudzielny
Pełny graf dwudzielny K3,4

Graf dwudzielnygraf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że krawędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru. Jeśli pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków należących do różnych zbiorów istnieje krawędź, graf taki nazywamy pełnym grafem dwudzielnym lub kliką dwudzielną i oznaczamy Kn,m gdzie n i m oznaczają liczności zbiorów wierzchołków.

Pojęcie można uogólnić na trzy (graf trójdzielny) i więcej zbiorów.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Grafem dwudzielnym nazywamy trójkę G(U, V, E) gdzie:

U={u1, u2, ..., un},
V={v1, v2, ..., vm}

i

E\ \subseteq\ U\ \times\ V.

U i V są zbiorami wierzchołków, E to zbiór krawędzi.

Warunki wystarczające dla grafu hamiltonowskiego[edytuj | edytuj kod]

Sformułowane zostało twierdzenie, które pozwala określić, czy graf dwudzielny jest grafem hamiltonowskim.

Treść twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech G będzie grafem dwudzielnym i niech:

V(G)=V_1\cup V_2

będzie podziałem wierzchołków G.

Jeśli G ma cykl Hamiltona, to:

|V_1|\ =\ |V_2|

Jeśli G ma ścieżkę Hamiltona, to wartości |V_1| i |V_2| różnią się co najwyżej o 1.

Dla pełnych grafów dwudzielnych zachodzi też implikacja w lewo, tj. jeśli:

|V_1|\ =\ |V_2|,

to G ma cykl Hamiltona.

Jeśli |V_1| i |V_2| różnią się co najwyżej o 1 to G ma ścieżkę Hamiltona.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech n oznacza ilość wierzchołków grafu G.

  • Cykl Hamiltona możemy wyznaczyć biorąc na przemian wierzchołki leżące w zbiorach V_1 i V_2. Jeśli:
v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1

wyznacza drogę zamkniętą przechodzącą dokładnie raz przez każdy wierzchołek, to

v_1,v_3,v_5\cdots

muszą należeć do jednego ze zbiorów podziału, bez straty ogólności załóżmy, że należą one do V_1. Ponieważ istnieje krawędź \! \{v_n,v_1\}, liczba n musi być parzysta, a więc wszystkie wierzchołki v_2,v_4,\cdots ,v_n należą do V_2, z czego wynika, że:

|V_1|\ =\ |V_2|.

W przypadku ścieżki Hamiltona można zastosować podobne wyszukiwanie, zakończyć je na wierzchołku v_n. W przypadku, gdy n nie jest parzyste, jeden ze zbiorów ma jeden dodatkowy wierzchołek.

Załóżmy G jest pełnym grafem dwudzielnym, tj.:

G=K_{|V_1|,|v_2|}..

Jeżeli:

|V_1|\ =\ |V_2|

to dla każdego "przemiennego" indeksowania wierzchołków v_1,v_2,\cdots ,v_n,v_1 wyznacza cykl Hamiltona w G. Gdy jeden z podziałów, np. V_1 jest mniejszy wystarczy wyjść z niego przez \! \{v_{|V_1|},v_{|V_2|}\}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]