Graf przepływu sygnałów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykładowy graf sygnałowy dla wzmacniacza z wzmocnieniem asymptotycznym.

Graf przepływu sygnałów (graf sygnałowy, graf Masona, ang. signal flow graph, signal flow diagram ) - szczególny typ diagramu blokowego - i graf skierowany - składający się z węzłów i gałęzi. W teorii sterowania obok schematu blokowego drugie dogodne narzędzie graficznego opisu złożonych układów regulacji.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Graf przepływu sygnałów układu jest siecią połączonych punktów zwanych węzłami; węzły są połączone liniami zwanymi gałęziami, które posiadają określony zwrot. Sygnały przenoszone są wdłuż gałęzi jedynie w kierunku strzałki zwrotu.

Węzły są zmiennymi zbioru liniowych relacji algebraicznych. Graf ten może reprezentować tylko mnożenia i dodawania. Mnożenia przedstawione jako wagi gałęzi, dodawania przedstawione są jako wielokrotne gałęzie wchodzące w jeden węzeł. Graf przepływu sygnałów ma związek jeden na jeden z układem równań liniowych.

Niech dany będzie układ liniowy opisany równaniami:

y_j = \sum_{k=1}^m a_{kj} x_k

gdzie y_j i x_k to zmienne układów a a_{kj} to funkcja przejścia opisująca wkład zmiennej x_k do wartości zmiennej y_j.

Jeśli poszczególne zmienne układu przypisze się węzłom, a funkcje przejścia gałęziom to wówczas układ liniowy opisywany powyższym równaniem można przedstawić w postaci grafu przepływu sygnałów:

SFG.PNG

Grafy przepływu sygnałów zwykle używają zakrzywione linie, które reprezentują przewody i układy w miejsce odpowiednio: linii o prostych kątach i bloków (jak ma to miejsce w przypadku schematów blokowych). Każdej zakrzywionej linii przypisuje się wartość mnożnika - może to być stała wartość wzmocnienia lub cała transmitancja. Sygnały przepływają od jednego końca linii do drugiego i linie, które są zestawione ze sobą szeregowo mają całkowitą wartość mnożnika równy obu wartościom linii pomnożonym przez siebie (tak jak na schematach blokowych).

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  • Węzły reprezentują zmienne układu. Zwykle są one uporządkowane od lewej do prawej co odwzorowuje następstwo przyczyn i skutków.
  • Gałąź skierowana od węzła x_k do węzła y_j przedstawia zależność zmiennej y_j od zmiennej x_k, ale nie odwrotnie.
  • Sygnały przemieszczają się wzdłuż gałęzi jedynie w kierunku określonym przez strzałki gałęzi.
  • Sygnał x_k przechodząc wzdłuż gałęzi pomiędzy węzłami x_k i y_j jest mnożony przez transmitancję gałęzi a_{kj}, a więc do węzła y_j dochodzi sygnał a_{kj} x_k.

Często używane terminy[edytuj | edytuj kod]

  • węzeł wejściowy (źródło) - węzeł taki posiada tylko gałęzie wychodzące;
  • węzeł wyjściowy (ściek) - taki węzeł ma tylko gałęzie wchodzące choć bywa, że ten formalny warunek nie jest spełniony - aby go spełnić trzeba wprowadzić dodatkową gałąź o jednostkowej transmitancji i dodatkową zmienną;
  • ścieżka - to dowolne, ciągłe, jednokierunkowe następstwo gałęzi ułożone w kierunku wskazanym przez zwroty gałęzi;
  • ścieżka w przód (czyli główna) - to ścieżka od węzła wejściowego do wyjściowego, wzdłuż której żaden z węzłów nie pojawia się więcej niż raz;
  • ścieżka sprzężenia zwrotnego (pętla) - to ścieżka, która rozpoczyna się i kończy się w tym samym węźle i wzdłuż której żaden inny węzeł nie pojawia się więcej niż jeden raz; mówi się, że ścieżki stykają się jeśli współdzielą węzeł albo linię;
  • wzmocnienie ścieżki - to iloczyn transmitancji (wzmocnień) gałęzi występujących w ścieżce;
  • wzmocnienie pętli - iloczyn wszystkich transmitancji (wzmocnień) gałęzi tworzących daną pętlę.

Reguły algebry grafów[edytuj | edytuj kod]

  • Dodawanie
    • Wartość zmiennej reprezentowanej przez węzeł jest równa sumie wszystkich sygnałów wchodzących do węzła.
    • Wartość zmiennej reprezentowanej przez dowolny węzeł jest przekazywana przez wszystkie gałęzie opuszczające węzeł.
  • Mnożenie
    • Ciąg połączeń gałęzi z transmitancjami a_{12}, a_{23}, ... , a_{(n-1)n} można zastąpić jedną gałęzią z wzmocnieniem równym iloczynowi a_{12} a_{23} ... a_{(n-1)n}.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Grafy przepływu sygnałów są szczególnie użyteczne z uwagi na to, że pozwalają na zastosowanie metod szczególnych takich jak reguła Masona. Pozwalają na identyfikację w układzie struktur zwanych pętlami, które można następnie analizować oddzielnie by określić całkowitą odpowiedź układu.

Graf przepływowy może też być wykorzystywany do przedstawienia przepływu sygnałów w układzie fizycznym na przykład może przedstawiać związek przyczyny i skutku.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Grafy przepływowe sygnałów zostały wprowadzone przez amerykańskiego inżyniera elektronika Samuela Jeffersona Masona (1921–1974). Tematowi temu była poświęcona jego rozprawa doktorska z 1952 roku.