Granica funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w starożytności. Stosowano je wówczas do obliczania pól figur geometrycznych za pomocą tzw. metody wyczerpywania, która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną ciągu figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako całka oznaczona, np. Lebesgue'a). Łaciński termin oznaczający granicę, „limes”, pojawił się w XVII wieku w pracach Newtona oraz Leibniza w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Współczesna definicja granicy funkcji powstała w XIX wieku wraz z rozwojem analizy matematycznej. Pierwszą ścisłą definicję granicy funkcji, sformułowaną za pomocą pojęć arytmetycznych, podał Cauchy, a współczesne brzmienie nadał jej Weierstrass.

Granica w punkcie[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f\colon A \to \mathbb R określona na zbiorze A \subseteq \mathbb R ma w punkcie skupienia x_0 tego zbioru granicę równą g, co zapisuje się

f(x) \to g przy x\to x_0

lub

\lim_{x \to x_0}f(x)=g,

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0, ciąg wartości funkcji (f(x_n)) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
dla każdej liczby \varepsilon > 0 istnieje liczba \delta > 0 taka, że dla każdego x \in A z nierówności 0 < |x - x_0| < \delta wynika nierówność |f(x) - g| < \varepsilon; w zapisie symbolicznym:
\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

Granica jednostronna[edytuj | edytuj kod]

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji obustronną. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją.

Liczba g jest granicą lewostronną funkcji f w lewostronnym punkcie skupienia x_0 dziedziny, co zapisuje się

f(x) \to g przy x \to x_0^-

lub

\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g,

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n < x_0 oraz \lim_{n \to\infty}~x_n = x_0, ciąg wartości funkcji (f(x_n)) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

Liczba g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x_0, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji f, co zapisuje się

f(x) \to g przy x\to x_0^+

lub

\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g,

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla dowolnego n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n > x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0, ciąg wartości funkcji (f(x_n)) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon).

Granica niewłaściwa[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f ma w punkcie x_0 granicę niewłaściwą +\infty, co zapisuje się

f(x) \to +\infty przy x\to x_0

lub

\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty,

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że x_n \in A, x_n \ne x_0 oraz \lim_{n \to \infty}~x_n = x_0 ciąg wartości funkcji (f(x_n)) dąży do +\infty przy n \to +\infty;
definicja Cauchy'ego 
\forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M).

Analogicznie definuje się i oznacza się granicę niewłaściwą -\infty: trzeba tylko wszędzie zamienić +\infty na -\infty, a definicję Cauchy'ego zapisać tak:

\forall_{M > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) < -M).

Analogicznie określa się niewłaściwe granice lewo- i prawostronną: trzeba w sposób naturalny skombinować informację z tej i poprzedniej podsekcji.

Granica w nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f określona dla wszystkich x > a\; (x < a) ma w plus (minus) nieskończoności granicę g, co zapisuje się

f(x) \to g przy x \to +\infty\ (x \to -\infty)

lub

\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g\ (\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g),

gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego n\in\Bbb N\ x_n > a\; (x_n < a) oraz x_n \to +\infty\ (x_n \to -\infty), ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do g przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego
\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\ (\forall_{x < \alpha})\; |f(x) - g| < \varepsilon.

Granica niewłaściwa w nieskończoności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f określona na przedziale (a, +\infty) ma w nieskończoności granicę niewłaściwą +\infty, co zapisuje się

f(x) \to +\infty przy x \to +\infty

lub

\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty,

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

definicja Heinego 
dla każdego ciągu (x_n) takiego, że dla każdego n\in\Bbb N\ x_n>a oraz x_n \to +\infty, ciąg wartości funkcji f(x_n) dąży do +\infty przy n \to \infty;
definicja Cauchy'ego 
\forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M.

Analogicznie definiuje się:

  • granicę niewłaściwą -\infty funkcji w +\infty,
  • granicę niewłaściwą +\infty funkcji w -\infty,
  • granicę niewłaściwą -\infty funkcji w -\infty.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli funkcje f i g, określone na zbiorze A \subseteq \mathbb R, mają granice właściwe \lim_{x \to x_0}~f(x) = a i \lim_{x \to x_0}~g(x) = b, to:
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \pm g(x)) = a \pm b,
  • \lim_{x \to x_0}~(f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b,
  • \lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b}, gdy g(x) \ne 0 oraz b \ne 0.

Uwaga: twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

  • Należy pamiętać, że twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, np. to, że \lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0, nie oznacza, że istnieją granice \lim_{x \to \infty}~\sin x czy \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}. W podanym przykładzie granica \lim_{x \to \infty}~\sin x nie istnieje, natomiast \lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0.
  • Twierdzenie o granicy funkcji złożonej.
Jeśli funkcja f\colon A \to \mathbb R ma w punkcie x_0 granicę \lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0, funkcja g\colon B \to \mathbb R ma w punkcie y_0 granicę \lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0, przy czym x_0 i y_0 są odpowiednio punktami skupienia zbiorów A \cap f^{-1}(B) oraz B, przy czym f(x) \ne y_0 dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu x_0, to \lim_{x \to x_0}~(g\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0.

Wymienione niżej własności są prawdziwe także w przypadku granic jednostronnych i w nieskończoności:

  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = 0,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = 0 oraz f(x) > 0\; \big(f(x) < 0\big) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~\tfrac{1}{f(x)} = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c>0 \implies \lim_{x \to x_0}~cf(x)=\pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}~f(x) = \pm\infty oraz c<0 \implies \lim_{x \to x_0}cf(x)=\mp\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz 0 < a \le h(x) w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \pm\infty,
  • \lim_{x \to x_0}f(x) = \pm\infty oraz h(x) \le a < 0 w pewnym sąsiedztwie x_0 \implies \lim_{x \to x_0}~f(x)\cdot h(x) = \mp\infty.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]