Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞).Funkcja
y
=
1
/
x
2
{\displaystyle y=1/x^{2}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Funkcja odwrotności y =1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną. Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności ; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne , to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych .
Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych [potrzebny przypis ] . Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.
Definicje sformułowane przez Heinego .
Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
a
,
∞
)
,
{\displaystyle (a,\infty ),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
∞
,
{\displaystyle \infty ,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
g
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=g}
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
a
,
∞
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
g
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}
Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
a
)
,
{\displaystyle (-\infty ,a),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
−
∞
,
{\displaystyle -\infty ,}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
g
{\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=g}
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
−
∞
,
a
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
−
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
g
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
a
,
∞
)
,
{\displaystyle (a,\infty ),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
f
{\displaystyle f}
∞
{\displaystyle \infty }
∞
,
{\displaystyle \infty ,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
a
,
∞
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
∞
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}
Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
a
)
,
{\displaystyle (-\infty ,a),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
f
{\displaystyle f}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
∞
,
{\displaystyle \infty ,}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty }
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
−
∞
,
a
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
−
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
∞
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}
Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
a
,
∞
)
,
{\displaystyle (a,\infty ),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
f
{\displaystyle f}
∞
{\displaystyle \infty }
−
∞
,
{\displaystyle -\infty ,}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty }
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
a
,
∞
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
−
∞
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}
Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności [ edytuj | edytuj kod ] Niech funkcja
f
{\displaystyle f}
(
−
∞
,
a
)
,
{\displaystyle (-\infty ,a),}
−
∞
⩽
a
<
∞
.
{\displaystyle -\infty \leqslant a<\infty .}
f
{\displaystyle f}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
∞
,
{\displaystyle -\infty ,}
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty }
wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
(
x
n
)
∀
(
x
n
)
⊂
(
−
∞
,
a
)
[
(
lim
n
→
∞
x
n
=
−
∞
)
→
(
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
−
∞
)
]
.
{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}
Granica niewłaściwa funkcji w punkcie Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]:
pojęcia ciągi ogólne
ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów inne przykłady
twierdzenia powiązane pojęcia
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82880d6e5f77677e8b811d8fe7b17127f85031b)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48735ac3a1feccbf4eb8c66ba2d7799a25a2ac00)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ab679aae3ed9b152ea8c05ee89e1c9cbab498b)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7154307b767b8ddb509bd8c4718b035afaac7dae)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84927fca61fb77dcc782f87be207bf2c34168cfe)
![{\displaystyle \forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f51b47d3aa710caa508b87f9e68726486b942f)
Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
