Granice dolna i górna

Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg $\scriptstyle (x_n)$ zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej ciągu $\scriptstyle (x_n)$ nakreślonych po prawej linią ciągłą.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Każdy ciąg ma granice dolną i górną. Jeżeli dany ciąg ma granicę, to granice dolna oraz górna są sobie równe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one sobie równe, to posiada także granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej (na podstawie twierdzenia o trzech ciągach).

Definicja

Granica dolna i granica górna ciągu $(a_n)$ definiowane są odpowiednio wzorami

$\liminf_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\inf_{k \geqslant n}~a_k\right) = \sup_{n \geqslant 0}~\inf_{k \geqslant n}~a_k,$

$\limsup_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\sup_{k \geqslant n}~a_k\right) = \inf_{n \geqslant 0}~\sup_{k \geqslant n}~a_k.$

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń $\lim$ oraz $\inf$, czy $\sup$, co widać w powyższych napisach, gdzie $\scriptstyle{n \to \infty}$ rozpościera się równo pod całym napisem $\liminf$ lub $\limsup$, a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli $\underline{\lim}$na oznaczenie granicy dolnej oraz $\overline{\lim}$ na oznaczenie granicy górnej.

Przykłady

Najprostszym przykładem jest

$\limsup_{n \to \infty} \pm n = \liminf_{n \to \infty} \pm n = \pm\infty.$

Istnieją ciągi, których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

$\limsup_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = 1,$ ale

$\liminf_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = -1.$

Podobnie

$\limsup_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = 1,$ ale

$\liminf_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = -1.$

Własności

Dla dowolnych ciągów $(a_n), (b_n)$ prawdziwe są następujące nierówności:

$\limsup_{n \to \infty}~a_n + \limsup_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \limsup_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant$

$\geqslant \liminf_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n.$

Zobacz też

• granica ciągu
• granica Banacha
• granica funkcji