Granice dolna i górna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg \scriptstyle (x_n) zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej ciągu \scriptstyle (x_n) nakreślonych po prawej linią ciągłą.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Każdy ciąg ma granice dolną i górną. Jeżeli dany ciąg ma granicę, to granice dolna oraz górna są sobie równe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one sobie równe, to posiada także granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej (na podstawie twierdzenia o trzech ciągach).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Granica dolna i granica górna ciągu (a_n) definiowane są odpowiednio wzorami

\liminf_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\inf_{k \geqslant n}~a_k\right) = \sup_{n \geqslant 0}~\inf_{k \geqslant n}~a_k,
\limsup_{n \to \infty}~{a_n} \overset\underset\mathrm{def}\ = \lim_{n \to \infty}~\left(\sup_{k \geqslant n}~a_k\right) = \inf_{n \geqslant 0}~\sup_{k \geqslant n}~a_k.

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń \lim oraz \inf, czy \sup, co widać w powyższych napisach, gdzie \scriptstyle{n \to \infty} rozpościera się równo pod całym napisem \liminf lub \limsup, a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli \underline{\lim}na oznaczenie granicy dolnej oraz \overline{\lim} na oznaczenie granicy górnej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym przykładem jest

\limsup_{n \to \infty} \pm n = \liminf_{n \to \infty} \pm n = \pm\infty.

Istnieją ciągi, których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

\limsup_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) =  1, ale
\liminf_{n \to \infty} (-1)^n (1 - \tfrac{1}{n}) = -1.

Podobnie

\limsup_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} =  1, ale
\liminf_{n \to \infty}~\sin \tfrac{\pi n}{100} = -1.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych ciągów (a_n), (b_n) prawdziwe są następujące nierówności:

\limsup_{n \to \infty}~a_n + \limsup_{n \to \infty}~b_n \geqslant
\geqslant \limsup_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant
\geqslant \limsup_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n \geqslant
\geqslant \liminf_{n \to \infty}~(a_n + b_n) \geqslant
\geqslant \liminf_{n \to \infty}~a_n + \liminf_{n \to \infty}~b_n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]