Grawitacyjna całka działania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Równania ogólnej teorii względności są konsekwencją minimum funkcjonału (całka działania) ze względu na metrykę czasoprzestrzeni g_{\mu\nu}. Funkcjonał ten ma postać

S[g_{\mu \nu}]=\int d^4x e L

gdzie e związane jest z przejściem do krzywoliniowego układu współrzędnych

e=\det[e^a_{\mu}]=(-\det[g_{\mu\nu}])^{\frac{1}{2}},

L jest funkcją Lagrange'a, składającą się z dwóch części - grawitacyjnej - opisującej geometrię czasoprzestrzeni i funkcji Lagrange'a materii (wszystko co nie jest grawitacją)

L = L_g + L_m .

Funkcja Lagrange'a grawitacji powinna zależeć jedynie od niezmienników opisujących geometrię czasoprzestrzeni. Takim niezmiennikiem jest skalar krzywizny R. Teoria Einsteina odpowiada najprostszej liniowej realizacji:

L_g = -\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda).

Stałe \kappa i \Lambda są stałymi teorii. Stałą \kappa definiuje się tak, by nastąpiła zgodność z teorią grawitacji Newtona. \Lambda jest stałą kosmologiczną.

Wariacja całki działania

\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0

względem tensora metrycznego (g^{\mu\nu}) daje równania Einsteina

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = - \kappa T_{\mu\nu}

definiując tensor energii-pędu.