Grawitacyjna całka działania

Ogólna teoria względności

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Równanie Einsteina Wstęp Aparat matematyczny Koncepcje podstawowe Szczególna teoria względności • Ogólna teoria względności • Zasada równoważności • Linia świata • Geometria Riemanna Zjawiska Problem Keplera • Soczewkowanie grawitacyjne • Fale grawitacyjne • Zjawisko Lensa-Thirringa • Efekt geodezyjny • Horyzont zdarzeń • Osobliwość grawitacyjna • Czarna dziura Równania Grawitacja liniowa • Parametryczny formalizm postnewtonowski • Równanie Einsteina • Równania Friedmana • Formalizm ADM • Formalizm BSSN • Grawitacyjna całka działania Teorie zaawansowane Teoria Kaluzy-Kleina • Grawitacja kwantowa Rozwiązania metryki: Schwarzschilda • Reissnera–Nordströma • Gödla • Kerra · Kerra-Newmana • Kasnera • Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera model Milne'a • pp-fale Znani uczeni Albert Einstein • Hermann Minkowski • Arthur S. Eddington • Georges Lemaître • Karl Schwarzschild • Hans Thirring • Josef Lense • Howard P. Robertson • Roy Kerr • Alexander Friedmann • Subramanyan Chandrasekhar • Stephen Hawking i inni...

Równania ogólnej teorii względności są konsekwencją minimum funkcjonału (całka działania) ze względu na metrykę czasoprzestrzeni $g_{\mu\nu}$. Funkcjonał ten ma postać

$S[g_{\mu \nu}]=\int d^4x e L$

gdzie e związane jest z przejściem do krzywoliniowego układu współrzędnych

$e=\det[e^a_{\mu}]=(-\det[g_{\mu\nu}])^{\frac{1}{2}},$

L jest funkcją Lagrange'a, składającą się z dwóch części - grawitacyjnej - opisującej geometrię czasoprzestrzeni i funkcji Lagrange'a materii (wszystko co nie jest grawitacją)

$L = L_g + L_m .$

Funkcja Lagrange'a grawitacji powinna zależeć jedynie od niezmienników opisujących geometrię czasoprzestrzeni. Takim niezmiennikiem jest skalar krzywizny R. Teoria Einsteina odpowiada najprostszej liniowej realizacji:

$L_g = -\frac{1}{2\kappa}(R-2\Lambda).$

Stałe $\kappa$ i $\Lambda$ są stałymi teorii. Stałą $\kappa$ definiuje się tak, by nastąpiła zgodność z teorią grawitacji Newtona. $\Lambda$ jest stałą kosmologiczną.

Wariacja całki działania

$\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0$

względem tensora metrycznego ($g^{\mu\nu}$) daje równania Einsteina

$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = - \kappa T_{\mu\nu}$

definiując tensor energii-pędu.