Grawitacyjna całka działania

Równania ogólnej teorii względności są konsekwencją minimum funkcjonału (całka działania) ze względu na metrykę czasoprzestrzeni $g_{\mu \nu }.$ Funkcjonał ten ma postać

$S[g_{\mu \nu }]=\int d^{4}xeL,$

gdzie $e$ związane jest z przejściem do krzywoliniowego układu współrzędnych

$e=\det[e_{\mu }^{a}]=(-\det[g_{\mu \nu }])^{\frac {1}{2}},$

$L$ jest funkcją Lagrange’a, składającą się z dwóch części – grawitacyjnej – opisującej geometrię czasoprzestrzeni i funkcji Lagrange’a materii (wszystko co nie jest grawitacją)

$L=L_{g}+L_{m}.$

Funkcja Lagrange’a grawitacji powinna zależeć jedynie od niezmienników opisujących geometrię czasoprzestrzeni. Takim niezmiennikiem jest skalar krzywizny R. Teoria Einsteina odpowiada najprostszej liniowej realizacji:

$L_{g}=-{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda ).$

Stałe $\kappa$ i $\Lambda$ są stałymi teorii. Stałą $\kappa$ definiuje się tak, by nastąpiła zgodność z teorią grawitacji Newtona. $\Lambda$ jest stałą kosmologiczną.

Wariacja całki działania

${\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0$

względem tensora metrycznego $(g^{\mu \nu })$ daje równania Einsteina

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu },$

definiując tensor energii-pędu.

Zobacz też

• przestrzeń pseudoriemannowska
• zasada najmniejszego działania