Grupa (matematyka)

Grupa – jedna z prostszych struktur algebraicznych: niepusty zbiór, na którym określono pewne łączne i odwracalne działanie dwuargumentowe. Skrótowo możemy powiedzieć, że grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Rys historyczny

Jako pierwsi grupy (nie posługując się jeszcze ustaloną nazwą) rozważali Lagrange i Ruffini, którzy badali grupy permutacji zbiorów skończonych. Gauss w swojej pracy Disquisitiones Arithmeticae (Rozważania arytmetyczne) zajmuje się addytywnymi i multiplikatywnymi grupami reszt modulo $n$ stosując rozumowania współczesnej teorii grup. Jako pierwszy nazwy groupe użył Galois podczas określania niektórych własności grup permutacji zbiorów skończonych odnosząc je jednak raczej do samego zbioru. Opracowane przez niego własności posłużyły następnie Cayleyowi w 1854 do zdefiniowania abstrakcyjnego pojęcia grupy.

Definicja

Grupą nazywamy parę uporządkowaną $(G, \star)$, gdzie $G$ jest dowolnym niepustym zbiorem, zaś $\star\colon G \times G \to G$ działaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

1. $\forall_{a, b, c \in G}\; (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$ zapewniający łączność działania
2. $\exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e \star a = a \star e = a$, gdzie $e$ nazywamy elementem neutralnym działania,
3. $\forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a \star b = b \star a = e$, gdzie $b$ nazywamy elementem odwrotnym do elementu $a$.

Jeżeli wprowadzone w zbiorze $G$ działanie nie wymaga precyzowania, to grupę $(G, \star)$ zapisuje się często po prostu jako $G$.

Uwagi

• Czasem grupę $G$ opisuje się szerzej, wraz ze wskazaniem elementu neutralnego: $(G, \star, e)$, z formalistycznego punktu widzenia można patrzeć na grupę jako czwórkę uporządkowaną $(G, \star, \;^', e)$ złożoną ze zbioru $G$, działania dwuargumentowego $\star$, działania jednoargumentowego $\;^'$ (branie elementu odwrotnego), działania zeroargumentowego $e$ (wskazanie elementu neutralnego).
• Warunek łączności sprawia, że wyrażenia postaci $a \star b \star c$ mają sens, gdyż niezależnie od położenia nawiasów wynik działania będzie taki sam.
• Grupa ma dokładnie jeden element neutralny:

  Niech $e^'$ będzie drugim obok $e$ elementem neutralnym grupy. Stosując dwukrotnie aksjomat 2. dla $e^'$ oraz $e$ mamy wówczas $e^' = e^' \star e = e \star e^' = e$.

• Element odwrotny jest wyznaczany jednoznacznie:

  Niech $a^', a^{''}$ będą różnymi elementami odwrotnymi do $a$, z 3. aksjomatu mamy $a \star a^' = e$ oraz $a^{''} \star a = e$.

  Mnożąc $a \star a' = e$ lewostronnie przez $a^{''}$ otrzymujemy:

  $a^{''} \star (a \star a^') = a^{''} \star e \implies (a^{''} \star a) \star a^' = a^{''} \implies e \star a^' = a^{''} \implies a^' = a^{''}$

• Elementem odwrotnym do elementu odwrotnego danego elementu jest ten sam element, niech $a^'$ oznacza element odwrotny do $a$:

  $(a^')^' = a$ (działanie brania elementu odwrotnego jest inwolucją).

Przemienność

Dodawanie i mnożenie określone na typowych zbiorach liczbowych (liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych) są przemienne. Jeżeli działanie $\star$ w grupie $G$ spełnia dodatkowo warunek przemienności, czyli:

$\forall_{a,\; b \in G}\; a \star b = b \star a$,

to grupę $(G, \star)$ nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

Zapis

Istnieją dwa główne sposoby zapisu grup: multyplikatywny, w którym korzysta się z symboliki mnożenia, oraz addytywny, wykorzystujący oznaczenia używane w dodawaniu. W zapisie multyplikatywnym, tak jak w zwykłym mnożeniu, znak kropki zwykle opuszcza się. Również samo działanie w grupie otrzymuje wtedy nazwę odpowiednio mnożenia lub dodawania. W tabelce znajdują się standardowe oznaczenia i nazwy dla obu rodzajów zapisu.

	zapis multyplikatywny	zapis addytywny
działanie	$\cdot$ (mnożenie)	$+$ (dodawanie)
element odwrotny do $a$	$a^{-1}$ (odwrotność)	$-a$ (element przeciwny)
element neutralny	$1$ (jedynka) lub $e$	$0$ (zero)
$n$-krotne działanie elementu	$a^n$ (potęga)	$na$ (wielokrotność)
iloczyn prosty/suma prosta	$\times$	$\oplus$

Warto pamiętać, iż zapis addytywny jest stosowany zwyczajowo w przypadku grup przemiennych (ma to swoje uzasadnienie w definicji pierścienia, czy ciała). W dalszej części artykułu stosowany będzie zapis multyplikatywny.

Podobne struktury

Niech $G$ będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym $\star$. Wzięcie tylko części aksjomatów grupy powoduje otrzymanie szeregu podobnych struktur również będących obiektami badań matematyków. $(G, \star)$ jest:

• grupoidem bez dodatkowych założeń,
• półgrupą, gdy działanie $\star$ jest łączne (pierwszy aksjomat grupy),
• monoidem, gdy działanie $\star$ półgrupy ma element neutralny (pierwszy i drugi aksjomat grupy), znane także jako „półgrupa z jedynką”, niekiedy tą nazwą określa się również wszystkie grupoidy,
• quasi-grupą, gdy branie elementu odwrotnego jest zawsze wykonywalne,
• pętlą (lupą), gdy działanie $\star$ w quasi-grupie ma element neutralny.
• grupą przemienną (abelową), gdy działanie $\star$ w grupie jest przemienne.

Pojęcia

Rząd grupy

Rzędem grupy $G$ oznaczanym $|G|$ (także $\#G$ lub $\operatorname{rz } G$) nazywamy liczbę elementów zbioru $G$, o ile jest on skończony (mówimy, że grupa jest skończona). Jeśli zbiór jest nieskończony, to mówimy, że grupa $G$ ma rząd nieskończony (grupa jest nieskończona), co zapisuje się jako $|G| = \infty$. Warto pamiętać, że grupa zawsze zawiera co najmniej jeden element, zatem rząd nie może być zerem.

Zbiór generatorów

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$. Niech $\mathcal{F}$ będzie rodziną wszystkich podgrup $H$ grupy $G$ takich, że $A\subset H$. W rodzinie tej istnieje najmniejsza podgrupa $H_0$ taka, że $H_0\subset H$ dla każdego $H\in\mathcal{F}$.

Podgrupę $H_0$ nazywamy podgrupą grupy $G$, generowaną przez zbiór $A$ (jest to najmniejsza podgrupa grupy $G$ zawierająca zbiór $A$).

Oznaczenie: $H_0=\langle A \rangle$. Oczywiście $\langle \varnothing \rangle =\{1\}$. Gdy $A=\{a\}$, to $\langle A \rangle = \langle \{a\} \rangle$ oznaczamy $\langle a \rangle$ i nazywamy podgrupą cykliczną generowaną przez $a\in G$.

Jeśli dla podzbioru $A\subset G$ mamy $\langle A \rangle = G$, to mówimy, że $A$ jest zbiorem generatorów grupy $G$ lub $A$ generuje $G$. Oczywiście $\langle G \rangle = \langle G\setminus \{1\} \rangle$.

Niech $G$ będzie grupą i $A\subset G$. Wtedy:

$\langle A \rangle=\{a_1^{x_1}\cdot a_2^{x_2}\cdot\ldots\cdot a_s^{x_s}\colon a_1,\ldots, a_s\in A, x_1, \ldots, x_s\in \mathbb{Z}, s\in\mathbb{N}\}$.

Oczywiście, jeśli $A=\{a\}$, to $\langle a \rangle =\{a^x\colon x\in\mathbb{Z}\}$

Jeśli $A$ jest zbiorem skończonym oraz $\langle A \rangle = G$, to mówimy, że $G$ jest skończenie generowana.

Grupę generowaną przez zbiór jednoelementowy nazywamy grupą cykliczną.

Rząd elementu

Rzędem elementu $a$ grupy skończonej $G$ nazywa się najmniejsze takie $n$, że zachodzi $a^n=e$. Rząd elementu oznacza się przez $o(a)$. Równoważnie: jest to rząd podgrupy generowanej przez dany element.

Stopień grupy

Niech $G$ będzie grupą skończoną. Minimalnym (wiernym) stopniem tej grupy nazywamy najmniejszą liczbę $n \in \mathbb N$ taką, że $G \le S_n$, gdzie $S_n$ jest grupą symetryczną rzędu $n$. Dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (wierną) reprezentacją grupy $G$. Minimalny stopień oznaczamy $\mu(G)$.

Fakty

• $\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; g^{m+n} = g^m g^n$
• $\forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; (g^m)^n = g^{mn}$
• $\forall_{g, h \in G}\; (gh)^{-1} = h^{-1} g^{-1}$, ponieważ

  $(gh)(h^{-1} g^{-1}) = \left( (gh) h^{-1} \right) g^{-1} = \left( g (hh^{-1}) \right) g^{-1} = g g^{-1} = e$.

Grupy jako składowe pierścieni

Niech $(R, +, \cdot)$ będzie dowolnym pierścieniem (łącznym z jedynką, a nawet ciałem). Przez $R^*$ oznaczać będziemy zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia (jeżeli $R$ jest ciałem, to $R^* = R \setminus \{0\}$, gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania).

Grupę $(R, +)$ nazywamy grupą addytywną ciała $R$, a grupę $(R^*, \cdot)$ grupą multiplikatywną tego ciała.

Grupy nieskończone

Zatem grupy $(\mathbb Q, +),\; (\mathbb R, +),\; (\mathbb C, +)$, czyli zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych z działaniem dodawania w tych zbiorach, są grupami addytywnymi odpowiednio ciał: liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych. Podobnie grupy $(\mathbb Q^*, \cdot),\; (\mathbb R^*, \cdot),\; (\mathbb C^*, \cdot)$.

Grupą nieskończoną jest też zbiór liczb całkowitych z dodawaniem: $(\mathbb Z, +)$, nie jest nią jednak $(\mathbb Z^*, \cdot)$ – nie istnieje element odwrotny do elementu $2$.

Pierścień klas reszt

Niech $n > 1$ będzie liczbą naturalną. Możemy wówczas wyróżnić grupy addytywną i multiplikatywną modulo $n$ liczb całkowitych:

• $(\mathbb Z_n, +)$, czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $[0, n)$ z działaniem dodawania modulo $n$ (addytywna) oraz
• $(\mathbb Z^*_n, \cdot)$, czyli zbiór liczb całkowitych z przedziału $[1, n)$, względnie pierwszych z $n$ z działaniem mnożenia modulo $n$ (multiplikatywna).

Przykłady

• Zbiór $\{-1, 1\}$ z działaniem mnożenia jest grupą izomorficzną z grupą cykliczną (z addytywną grupą klas reszt) 2-elementową, opisaną wyżej, dla n=2.
• Zbiór wektorów na płaszczyźnie euklidesowej z działaniem dodawania wektorów.
• Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń.
• Grupa permutacji $S_X$ dowolnego zbioru $X$.
• $(\mathbb Q^+, \cdot), (\mathbb R^+, \cdot)$, czyli podzbiory odpowiednich ciał bez liczb ujemnych z naturalnym działaniem mnożenia.

Zobacz też

• struktura matematyczna
• badanie grupy:
  • centralizator i normalizator
  • działanie grupy na zbiorze
  • podgrupa normalna
  • grupa ilorazowa
  • iloczyny grup
  • komutant grupy
  • morfizmy grup
  • podgrupa charakterystyczna
  • podgrupa
• grupy o specjalnych własnościach:
  • grupa wolna
  • p-grupa
• ważne rodzaje grup
  • grupa permutacji
  • grupa topologiczna
• twierdzenia:
  • Cauchy'ego
  • Cayleya
  • Lagrange'a
  • Sylowa

Bibliografia

1. Agnieszka Bojanowska, Paweł Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005. 
2. Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. skrypt SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4. 
3. D. Easdown, C. E. Praeger: On minimal faithful permutation representations of finite groups.. Bull. Aust. Math. Soc. 38, No.2, 1988, s. 207-220. ISSN 0004-9727. [1]
4. Witold Więsław: Matematyka Hoene-Wrońskiego za jego czasów. Wrocław: Instytut Matematyczny UW. [2]