Grupa (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny[1]. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Różne definicje grupy[edytuj | edytuj kod]

Definicja 1[edytuj | edytuj kod]

Grupą nazywamy zbiór G z działaniem dwuargumentowym spełniającym następujące warunki:

  1. \forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c) zapewniający łączność działania
  2. \exists_{e \in G}\; \forall_{a \in G}\; e a = a e = a, gdzie e nazywamy elementem neutralnym działania,
  3. \forall_{a \in G}\; \exists_{b \in G}\; a b = b a = e, gdzie b nazywamy elementem odwrotnym do elementu a a e jest elementem neutralnym. Element odwrotny jest oznaczany przez a^{-1}.

Jeżeli działanie w grupie G spełnia warunek: :\forall_{a,\; b \in G}\; a b = b a, to grupę G nazywamy grupą przemienną bądź abelową.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Grupę można uważać za zbiór, w którym określone są trzy operacje n-arne: łączna operacja 2-arna, operacja 1-arna - element odwrotny i operacja 0-arna - element neutralny[2].
  • W definicji wystarczy założyć, że element neutralny i element odwrotny są oba prawostronne lub oba lewostronne[3].
  • W definicji wystarczy, poza istnieniem działania dwuelementowego łącznego, założyć istnienie dla każdego a \in G takiego elementu a^{-1} \in G, który spełnia warunek:
\forall_{a, b \in G} a^{-1} (ab) = b = (ba) a^{-1}[4].
  • Warunek łączności sprawia, że wyrażenia postaci a b c mają sens bez użycia nawiasów, gdyż niezależnie od położenia nawiasów wynik działania jest taki sam.
  • Grupa ma dokładnie jeden element neutralny, bo jeśli e' i e są dwoma elementami neutralnymi grupy, to:
e' = e' e = e.
  • Element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie. Jeśli a', a'' są dwoma elementami odwrotnymi do a, to:
a'' = a'' e = a'' (a a') = (a'' a) a' = e a' = a'
  • Elementem odwrotnym do elementu odwrotnego danego elementu jest ten sam element, niech a^{-1} oznacza element odwrotny do a:
    (a^{-1})^{-1} = a (operacja 1-arna przyporządkowująca każdemu elementowi grupy jego element odwrotny jest inwolucją).

Definicja 2[edytuj | edytuj kod]

Grupą nazywamy zbiór G z trzema działaniami dwuargumentowymi ab, a\b i a/b spełniającymi następujące warunki[5]:

  1. \forall_{a, b, c \in G}\; (a b) c = a (b c),
  2. \forall_{a, b \in G}\; a (b \backslash a) = b, (b / a) a = b,
  3. \forall_{a, b \in G}\; a b \backslash a = b, b a / a = b.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • a \backslash b = a^{-1} b, a / b = b a^{-1}[6].
  • Do zdefiniowania grupy wystarczy operacja 2-arna a/b. Jeżeli a / b = a\; b\; \omega, to:
e = a\; a\; \omega,
a^{-1} = a\; a\; \omega\; a\; \omega,
a b = a\; b\; b\; \omega\; b\; \omega\; \omega[7].
  • Operacja \omega umożliwia zdefiniowanie grupy za pomocą jednego aksjomatu[8]:
\forall_{a, b, c\; \in\; G}\; a\; a\; a\; \omega\; b\; \omega\; c\; \omega\; a\; a\; \omega\; c\; \omega\; \omega\; \omega = b.

Zapis[edytuj | edytuj kod]

Istnieją dwa główne sposoby zapisu grup: multyplikatywny, w którym korzysta się z symboliki mnożenia, oraz addytywny, wykorzystujący oznaczenia używane w dodawaniu. W zapisie multyplikatywnym, tak jak w zwykłym mnożeniu, znak kropki zwykle opuszcza się. Również samo działanie w grupie otrzymuje wtedy nazwę odpowiednio mnożenia lub dodawania. W tabelce znajdują się standardowe oznaczenia i nazwy dla obu rodzajów zapisu.

zapis multyplikatywny zapis addytywny
działanie \cdot (mnożenie) + (dodawanie)
element odwrotny do a a^{-1} (odwrotność) -a (element przeciwny)
element neutralny 1 (jedynka) lub e 0 (zero)
n-krotne działanie elementu a^n (potęga) na (wielokrotność)
iloczyn prosty/suma prosta \times \oplus

Warto pamiętać, iż zapis addytywny jest stosowany zwyczajowo w przypadku grup przemiennych (ma to swoje uzasadnienie w definicji pierścienia, czy ciała). W dalszej części artykułu stosowany będzie zapis multyplikatywny.

Podobne struktury[edytuj | edytuj kod]

Struktury grupopodobne
Wewnętrzność Łączność Element neutralny Odwrotność Przemienność
Grupoid Tak Nie Nie Nie Nie
Półgrupa Tak Tak Nie Nie Nie
Monoid Tak Tak Tak Nie Nie
Grupa Tak Tak Tak Tak Nie
Grupa abelowa Tak Tak Tak Tak Tak
Lupa Tak Nie Tak Tak Nie
Quasi-grupa Tak Nie Nie Tak Nie

Niech G będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym \star. Gdy spełniona jest tylko część aksjomatów grupy, otrzymuje się szereg podobnych struktur badanych w matematyce. (G, \star) jest:

Pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Rząd grupy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: rząd (teoria grup).

Moc zbioru elementów grupy G\; nazywamy jej rzędem i oznaczamy przez | G | lub \# G. Jeżeli rząd grupy jest skończony, to grupę nazywamy grupą skończoną. W przeciwnym wypadku jest to grupa nieskończona[9].

Zbiór generatorów[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: zbiór generatorów grupy.
Information icon.svg Zobacz też: grupa cykliczna.

Niech G będzie grupą i A\subset G. Niech \mathcal{F}_A będzie rodziną wszystkich podgrup H grupy G takich, że A\subset H. Grupa H_0 = \bigcap_{H \in \mathcal{F}} H jest najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupą grupy G zawierającą zbiór A. Podgrupę H_0 nazywamy podgrupą grupy G, generowaną przez zbiór A.

Grupę generowaną przez zbiór A oznacza się przez H_0=\langle A \rangle. Oczywiście \langle \varnothing \rangle =\{1\}. Gdy A=\{a\}, to \langle A \rangle = \langle \{a\} \rangle oznaczamy \langle a \rangle i nazywamy podgrupą cykliczną generowaną przez a\in G.

Jeśli dla podzbioru A\subset G mamy \langle A \rangle = G, to mówimy, że A jest zbiorem generatorów grupy G lub A generuje G. Oczywiście \langle G \rangle = \langle G\setminus \{1\} \rangle .

Niech G będzie grupą i A\subset G. Wtedy:

\langle A \rangle=\{a_1^{x_1}\cdot a_2^{x_2}\cdot\ldots\cdot a_s^{x_s}\colon a_1,\ldots, a_s\in A, x_1, \ldots, x_s\in \mathbb{Z}, s\in\mathbb{N}\}.

Oczywiście, jeśli A=\{a\}, to \langle a \rangle =\{a^x\colon x\in\mathbb{Z}\}

Jeśli A jest zbiorem skończonym oraz \langle A \rangle = G, to mówimy, że G jest skończenie generowana.

Grupę generowaną przez zbiór jednoelementowy nazywamy grupą cykliczną.

Rząd elementu[edytuj | edytuj kod]

Rzędem elementu a grupy skończonej G nazywa się najmniejsze takie n, że zachodzi a^n=e. Rząd elementu oznacza się przez o(a). Równoważnie: jest to rząd podgrupy generowanej przez dany element.

Stopień grupy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: reprezentacja grupy.

Niech G będzie grupą skończoną. Minimalnym (wiernym) stopniem tej grupy nazywamy najmniejszą liczbę n \in \mathbb N taką, że G \le S_n, gdzie S_n jest grupą symetryczną rzędu n. Dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (wierną) reprezentacją grupy G. Minimalny stopień oznaczamy \mu(G).

Fakty[edytuj | edytuj kod]

  • \forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; g^{m+n} = g^m g^n
  • \forall_{g \in G}\; \forall_{m,\; n \in \mathbb Z}\; (g^m)^n = g^{mn}
  • \forall_{g, h \in G}\; (gh)^{-1} = h^{-1} g^{-1}, ponieważ
    (gh)(h^{-1} g^{-1}) = \left( (gh) h^{-1} \right) g^{-1} = \left( g (hh^{-1}) \right) g^{-1} = g g^{-1} = e.

Grupy jako składowe pierścieni[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: grupa multiplikatywnagrupa addytywna.

Niech (R, +, \cdot) będzie dowolnym pierścieniem (łącznym z jedynką, a nawet ciałem). Przez R^* oznaczać będziemy zbiór elementów odwracalnych tego pierścienia (jeżeli R jest ciałem, to R^* = R \setminus \{0\}, gdzie 0 jest elementem neutralnym dodawania).

Grupę (R, +) nazywamy grupą addytywną ciała R, a grupę (R^*, \cdot) grupą multiplikatywną tego ciała.

Grupy nieskończone[edytuj | edytuj kod]

Zatem grupy (\mathbb Q, +),\; (\mathbb R, +),\; (\mathbb C, +), czyli zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych z działaniem dodawania w tych zbiorach, są grupami addytywnymi odpowiednio ciał: liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych. Podobnie grupy (\mathbb Q^*, \cdot),\; (\mathbb R^*, \cdot),\; (\mathbb C^*, \cdot).

Grupą nieskończoną jest też zbiór liczb całkowitych z dodawaniem: (\mathbb Z, +), nie jest nią jednak (\mathbb Z^*, \cdot) – nie istnieje element odwrotny do elementu 2.

Pierścień klas reszt[edytuj | edytuj kod]

Niech n > 1 będzie liczbą naturalną. Możemy wówczas wyróżnić grupy addytywną i multiplikatywną modulo n liczb całkowitych:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: SCRIPT, 2005, s. 9. ISBN 83-904564-9-4.
  2. Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969-1970. Moskwa: 1974, s. 17. (ros.)
  3. Kurosz, op. cit., s. 17
  4. Marshall Hall, Jr.: The theory of groups. Moskwa: 1962, s. 18. (ros.)
  5. Kurosz, op. cit., s. 17
  6. Kurosz, op. cit., s. 18
  7. Kurosz, op. cit., s. 19
  8. Kurosz, op. cit., s. 19
  9. Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: 2010, s. 6. ISBN 978-83-01-16051-7.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Agnieszka Bojanowska, Paweł Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
  2. Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  3. D. Easdown, C. E. Praeger: On minimal faithful permutation representations of finite groups.. Bull. Aust. Math. Soc. 38, No.2, 1988, s. 207-220. ISSN 0004-9727.[1]
  4. Witold Więsław: Matematyka Hoene-Wrońskiego za jego czasów. Wrocław: Instytut Matematyczny UW.[2]
  5. Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010. ISBN 978-83-01-16051-7.
  6. Marshall Hall, Jr.: The theory of groups. Moskwa: 1962. (ros.)
  7. Aleksander Kurosz: Algebra ogólna. Wykłady z lat 1969-1970. Moskwa: 1974. (ros.)