Grupa Mathieu

Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile’a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861 i 1873; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami $M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}$ i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).

Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole $M_{7},M_{8},M_{9},M_{10},M_{19},M_{20}$ oraz $M_{21}.$ Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany $M_{13}.$

Największa z grup, $M_{24},$ która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.

Historia

Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J₁.

Grupy wielokrotnie przechodnie

Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji $G$ działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów $a_{1},\dots ,a_{k}$ oraz $b_{1},\dots ,b_{k}$ o takiej własności, że $a_{i}$ są różne i $b_{i}$ są różne, istnieje element $g$ grupy $G,$ który odwzorowuje $a_{i}$ na $b_{i}$ dla każdego $i=1,\dots ,k.$ Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element $g$ o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).

Grupa $M_{24}$ jest 5-przechodnia, zaś $M_{12}$ jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów $m$-punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M₂₃ jest 4-przechodnia itd.).

Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne $S_{k}$ dla $k\geqslant 4,$ grupy alternujące $A_{k}$ dla $k\geqslant 6$ i grupy Mathieu $M_{24},M_{23},M_{12},M_{11}.$ Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.

Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k – 2) oraz grupy $M_{12}$ i $M_{11}$ są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.

Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym, $\operatorname {PGL} (2,F_{q}),$ która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze $(q+1)$-elementowym.

Rząd i tabela przechodniości

Grupa	Rząd	Rząd (iloczyn)	Rozkład rzędu	Przechodniość	Prostota
$M_{24}$	244 823 040	3· 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24	210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	5-przechodnia	prosta
$M_{23}$	10 200 960	3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23	27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	4-przechodnia	prosta
$M_{22}$	443 520	3 · 16 · 20 · 21 · 22	27 · 32 · 5 · 7 · 11	3-przechodnia	prosta
$M_{21}$	20 160	3 · 16 · 20 · 21	26 · 32 · 5 · 7 · 11	2-przechodnia	prosta
$M_{20}$	960	3 · 16 · 20	26 · 3 · 5	1-przechodnia	nieprosta
$M_{19}$	48	3 · 16	24 · 3	0-przechodnia	nieprosta
$M_{12}$	95 040	8 · 9 · 10 · 11 · 12	26 · 33 · 5 · 11	ściśle 5-przechodnia	prosta
$M_{11}$	7920	8 · 9 · 10 · 11	24 · 32 · 5 · 11	ściśle 4-przechodnia	prosta
$M_{10}$	720	8 · 9 · 10	24 · 32 · 5	ściśle 3-przechodnia	nieprosta
$M_{9}$	72	8 · 9	23 · 32	ściśle 2-przechodnia	nieprosta
$M_{8}$	8	8	23	ściśle 1-przechodnia	nieprosta
$M_{7}$	1	1	1	ściśle 0-przechodnia	nieprosta

Konstrukcje grup Mathieu

Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.

Grupy permutacji

Grupa $M_{12}$ ma podgrupę prostą rzędu $660$ będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała $F_{11}.$ Jeżeli $a$ oznacza $-1,$ zaś $b$ – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są $(0123456789a)$ oraz $(0b)(1a)(25)(37)(48)(69).$ Trzeci generator, dający $M_{12},$ odwzorowuje element $x$ ciała $F_{11}$ na $4x^{2}-3x^{7};$ w zapisie permutacyjnym jest to $(26a7)(3945).$ Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.

Podobnie $M_{24}$ jest maksymalna podgrupa prosta rzędu $6072,$ która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała $F_{23}.$ Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to

$(0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N),$

drugim jest permutacja odwracająca porządek,

$(0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI).$

Trzeci generator, dający $M_{24}$ odwzorowuje element $x$ ciała $F_{23}$ na $4x^{4}-3x^{15};$ nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element

$(2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).$

Konstrukcje te są cytowane za Carmichaelem; Dixon i Mortimer przypisują permutacje Mathieu.

Grupy automorfizmów systemów Steinera

Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera $W_{24}$ (geometria Witta) typu $S(5,8,24).$ Grupa $M_{24}$ jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy $M_{23}$ i $M_{22}$ są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.

Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera $W_{12}$ typu $S(5,6,12),$ a grupa $M_{12}$ jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa $M_{11}$ jest stabilizatorem punktu.

M₂₄ z PSL(3,4)

Grupę $M_{24}$ można skonstruować wychodząc od $\operatorname {PSL} (3,4);$ jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.

Dobrym zaczątkiem dla $M_{24}$ jest $\operatorname {PSL} (3,4),$ rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowym, oznaczana również $M_{21},$ która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem $F_{4},$ systemem typu $S(2,5,21)$ oznaczany $W_{21}.$ Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Grupa $M_{21}$ ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group) $\operatorname {PGL} (3,4)$ oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w $M_{21}$ oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fana. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera. $M_{21}$ jest normalna w $\operatorname {PGL} (3,4),$ indeksu 3. $\operatorname {PGL} (3,4)$ ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w $F_{4}$ (automorfizm ciała). Grupa $\operatorname {PGL} (3,4)$ może być więc rozszerzona do grupy $\operatorname {P\Gamma L} (3,4)$ rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem $M_{21}$ przez grupę symetryczną $S_{3}.$ Okazuje się, że $\operatorname {P\Gamma L} (3,4)$ można włożyć jako podgrupę maksymalną w $M_{24}.$

Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fana spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.

Do $W_{21}$ należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom $\operatorname {P\Gamma L} (3,4),$ ale nie automorfizmom $M_{21}$ na permutowanie nowych punktów. System $W_{22}$ typu $S(3,6,22)$ powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na $M_{21}.$

System typu $S(5,8,24)$ miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej $W_{21},$ jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fana w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory $W_{21}$ będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy $\operatorname {P\Gamma L} (3,4)$ do $M_{24}.$

W₁₂

Grupę W₁₂ można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej $F_{3}\times F_{3},$ system typu $S(2,3,9).$

Inną konstrukcją $W_{12}$ jest Kitten (dosł. kociak) R.T. Curtisa.

Programy komputerowe

Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji $W_{24}$ poprzez Miracle Octad Generator R.T. Curtisa i analog Conwaya dla $W_{12},$ miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane’a.

Grupa automorfizmów kodu Golaya

Grupa $M_{24}$ jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya $W,$ tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących $W$ na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera $S(5,8,24),$ a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd $2^{12}|M_{24}|,$ gdyż istnieje $|M_{24}|$ permutacji i $2^{12}$ zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.

Podgrupy proste $M_{23},M_{22},M_{12}$ i $M_{11}$ mogą być zdefiniowane jako podgrupy $M_{24},$ odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.

Grupa $M_{12}$ jest indeksu $2$ w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa $M_{24}$ grupa $M_{12}$ działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrznych swojego działania na pierwszej dodekadzie. $M_{11}$ jest podgrupą $M_{23},$ lecz nie $M_{22}.$ Ta reprezentacja $M_{11}$ ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów $M_{12}$ jest podgrupą maksymalną $M_{24}$ indeksu 1288.

Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation).

Dessins d’enfants

Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z $M_{12}$ w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”.

Symetrie wielościanów

Grupa M₂₄ może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.

Grupę $M_{24}$ można skonstruować wychodząc od symetrii kwadryki Kleina (symetrie tesselacji powierzchni o genusie 3), mianowicie grupy $\operatorname {PSL} (2,7),$ która może być powiększona o dodatkową permutację. Permutację tę można opisać wychodząc od parkietażu kwadryki Kleina 20 trójkątami (o 24 wierzchołkach – zbiorze 24-punktowym, na którym działa grupa), następnie tworząc kwadraty z pewnych dwóch trójkątów, sześciokąty z 6 trójkątów, z dołączoną permutacją będącą „zamianą dwóch końców dwusiecznych kwadratów i sześciokątów”. Można to przedstawić przez kolorowanie trójkątów – odpowiadający kafelkowanie jest topologicznie, ale nie geometrycznie kafelkowaniem t_0,1{4, 3, 3} i może być (wielościennie) zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej jako szescioośmiościan mały (który również ma 24 wierzchołki).

Własności

Grupy Mathieu mają fascynujące własności; grupy są wynikiem współwystępowania kilku anomalii w teorii grup.

Na przykład $M_{12}$ zawiera egzemplarz wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego grupy $S_{6}.$ Grupa $M_{12}$ zawiera podgrupę izomorficzną z $S_{6}$ działającą w różny sposób na dwóch zbiorach 6-elementowych. Z kolei $M_{12}$ ma automorfizm zewnętrzny indeksu 2 i, jako podgrupa $M_{24},$ działa w różny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych.

Należy zauważyć $M_{10}$ jest rozszerzeniem nierozszczepiającym postaci $A_{6}.2$ (rozszerzenie grupy rzędu 2 przez A₆), i odpowiednio $A_{6}$ może być oznaczana symbolem $M_{10}',$ gdyż jest to podgrupa indeksu 2 grupy $M_{10}.$

Grupa liniowa $GL(4,2)$ ma izomorfizm wyjątkowy (ang. exceptional isomorphism) w grupę alternującą $A_{8};$ izomorfizm ten jest istotny ze względu na strukturę $M_{24}.$ Stabilizator punktowy $O$ oktady jest grupą abelową rzędu 16 o wykładniku 2, a każda z jego inwolucji porusza wszystkie 16 punktów poza oktadę. Stabilizator oktady jest rozszczepieniem $O$ przez $A_{8}.$ Istnieje 759 (= 3 · 11 · 23) oktad. Stąd rząd $M_{24}$ wynosi 759 · 16 · 20160.

Reprezentacja macierzowa w GL(11, 2)

Kod binarny Golaya jest przestrzenią liniową wymiaru 12 nad $F_{2}.$ Punkty stałe ze względu na M₂₄ tworzą podprzestrzeń złożoną z dwóch wektorów, których współrzędne złożone są z samych 0 bądź 1. Przestrzeń ilorazowa, wymiaru 11, rzędu 2¹¹, może być skonstruowana jako zbiór podziałów 24 bitów na pary słów kodowych Golaya. Intrygującą rzeczą jest to, że liczba niezerowych wektorów, 2¹¹−1 = 2047, jest najmniejszą liczbą Mersenne’a o wykładniku pierwszym, która nie jest liczbą pierwszą i ma rozkład 23 · 89. Następnie $|M_{24}|$ dzieli $|\operatorname {GL} (11,2)|=2^{55}\cdot 3^{6}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 17\cdot 23\cdot 73\cdot 89.$

Grupa M₂₃ również wymaga wymiaru 11.

Grupy M₂₂, M₁₂ oraz M₁₁ mają reprezentację w GL(10, 2).

Podgrupa sekstetów grupy M₂₄

Tetradą nazywa się dowolny zbiór 4 punktów systemu Steinera $W_{24}.$ Oktada wyznaczona jest przez wybranie pięciu z pozostałych 20 punktów. Istnieje 5 możliwych oktad. Stąd dowolna tetrada wyznacza podział na 6 tetrad, nazywanych sekstetami, których stabilizator w $M_{24}$ nazywany jest grupą sekstetów.

Całkowita liczba tetrad to 24 · 23 · 22 · 21/4! = 23 · 22 · 21. Podzielenie tej liczby przez 6 daje liczbę sekstetów, 23 · 11 · 7 = 1771. Więcej, grupa sekstetów to podgrupa splotu rzędu 6! · (4!)⁶, którego jedynymi dzielnikami pierwszymi są 2, 3 oraz 5. Są to dzielniki pierwsze $|M_{24}|.$ Dalsza analiza dałaby rząd grupy sekstetów, a stąd $|M_{24}|.$

Dogodnie jest umieścić 24 punkty w tablicy 6 × 4:

${\begin{matrix}A&E&I&M&Q&U\\B&F&J&N&R&V\\C&G&K&O&S&W\\D&H&L&P&T&X\end{matrix}}$

Wygodnie jest także użyć elementów ciała $F_{4}$ do numerowania wierszy: 0, 1, u, u².

Grupa sekstetów ma abelową podgrupę normalną $H$ rzędu 64, izomorficzną z heksakodem, przestrzenią liniową długości 6 i wymiaru 3 nad $F_{4}.$ Niezerowy element H wykonuje podwójną transpozycję w 4 lub 6 kolumnach. Jego działanie może być postrzegane jako dodawanie współrzędnych wektora do liczb w wierszach.

Grupa sekstetów jest rozszczepieniem H przez grupę $3.S_{6}$ (rozszerzenie stem, ang. stem extension). Poniżej znajduje się przypadek w grupach Mathieu, gdzie grupa prosta (A₆) jest podilorazem, ale nie podgrupą. $3.S_{6}$ jest normalizatorem w $M_{24}$ podgrupy generowanej przez

$r=(BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX),$

który może być interpretowany jako mnożenie liczb w rzędach przez u². Podgrupa $3.A_{6}$ jest centralizatorem $\langle r\rangle .$ Generatorami $3.A_{6}$ są:

$(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX)$ (obrót trzech pierwszych kolumn),

$(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW),$

$(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS)$ (iloczyn dwóch powyższych),

$(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX)$ (obrót trzech ostatnich kolumn).

Parzysta permutacja kolumn, np. $(CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW),$ generuje $3.S_{6}.$

Grupa $3.A_{6}$ jest izomorficzna z podgrupą $\operatorname {SL} (3,4),$ której obraz w $\operatorname {PSL} (3,4)$ został opisany wyżej jako grupa hiperowali.

Aplet Moggie ma funkcję wyświetlania sekstetów w kolorze.

Struktura podgrup

Grupa M₂₄ zawiera nieabelowa podgrupy proste 13 typów izomorfizmów: pięć klas A₅, cztery klasy PSL(3,2), dwie klasy A₆, dwie klasy PSL(2,11), po jednej klasie A₇, PSL(2,23), M₁₁, PSL(3,4), A₈, M₁₂, M₂₂, M₂₃ oraz M₂₄.

Podgrupy maksymalne M₂₄

Robert T. Curtis przedstawił pełny opis maksymalnych podgrup grupy M₂₄ w 1977, co błędnie zaanonsowano wcześniej w 1972 roku.

Lista przedstawia się następująco:

• M₂₃, rząd 10 200 960,
• M₂₂:2, rząd 887 040, orbity 2- i 22-elementowe,
• 2⁴:A₈, rząd 322 560, orbity 8- i 16-elementowe: grupa oktad
• M₁₂:2, rząd 190 080, przechodnia i imprymitywna: grupa dodekad

Egzemplarz M₁₂ działający w inny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych, odzwierciedlający automorfizm zewnętrzny M₁₂

• 2⁶:(3.S₆), rząd 138 240: grupa sekstetów (zob. wyżej)
• PSL(3,4):S₃, rząd 120 960, orbity 3- i 21-elementowe
• 2⁶:(PSL(3,2) × S₃), rząd 64 512, przechodnia i imprymitywna: grupa trójek (ang. trio group)

Stabilizator rozbicia na 3 oktady

• PSL(2,23), rząd 6 072: podwójnie przechodnie
• Grupa ósemkowa, rząd 168, prosta, przechodnia i imprymitywna, 8 bloków trójelementowych

Ostatnia znaleziona podgrupa maksymalna M₂₄.

7-elementowe podzbiory tej grupy dzielą się na 2 klasy sprzężoności zbiorów 24-elementowych.

Podgrupy maksymalne M₂₃

• M₂₂, rząd 443 520
• PSL(3,4):2, rząd 40 320, orbity 21- i 2- elementowe
• 2⁴:A₇, rząd 40 320, orbity 7- i 16-elementowe

Stabilizator bloku W₂₃

• A₈, rząd 20 160, orbity 8- i 15-elementowe
• M₁₁, rząd 7 920, orbity 11- i 12-elementowe
• (2⁴:A₅):S₃ lub M₂₀:S₃, rząd 5 760, orbity 3- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)

Jednopunktowy stablizator grupy sekstetów

• 23:11, rząd 253, regularna

Podgrupy maksymalne M₂₂

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 22-elementowym zbiorze.

• PSL(3,4) lub M₂₁, rząd 20160: jednopunktowy stabilizator
• 2⁴:A₆, rząd 5760, orbity 6- i 16-elementowe

Stabilizator bloku W₂₂

• A₇, rząd 2520, orbity 7- i 15-elementowe
• A₇, orbity 7- i 15-elementowe
• 2⁴:S₅, rząd 1920, orbity 2- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)

2-punktowy stabilizator w grupie sekstetów

• 2³:PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8- i 14-elementowe
• M₁₀, rząd 720, orbity 10- i 12-elementowe (2 bloki 6-elementowe)

Jednopunktowy stabilizator M₁₁ (punkt w orbicie 11-elementowej)

nierozszczepione rozszerzenie postaci A₆.2

• PSL(2,11), rząd 660, dwie orbity 11-elementowe

Kolejny jednopunktowy stabilizator M₁₁ (punkt w orbicie 12-elementowej)

Podgrupy maksymalne M₂₁

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 21-elementowym zbiorze.

• 2⁴:A₅ lub M₂₀, rząd 960: stabilizator jednopunktowy

Imprymitywna na 5 blokach 4-elementowych

• 2⁴:A₅, transpozycja M₂₀, orbity 5- i 16-elementowe
• A₆, rząd 360, orbity 6- i 15-elementowe: grupa hiperowali
• A₆, orbity 6- i 15-elementowe
• A₆, orbity 6- i 15-elementowe
• PSL(3,2), rząd 168, orbity 7- i 14-elementowe: grupa podpłaszczyzny Fana
• PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
• PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
• 3²:Q lub M₉, rząd 72, orbity 9- i 12-elementowe

Podgrupy maksymalne M₁₂

Istnieje 11 klas sprzężoności podgrup maksymalnych, 6 występujących w automorficznych parach.

• M₁₁, rząd 7920, stopień 11
• M₁₁, stopień 12

Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu

• S₆:2, rząd 1440, imprymitywna i przechodnia, 2 bloki 6-elementowe

Przykład wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S₆

• M₁₀.2, rząd 1440, orbity 2- i 10-elementowe

Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu

• PSL(2,11), rząd 660, podwójnie przechodnia na zbiorze 12-punktowym
• 3²:(2.S₄), rząd 432, orbity 3- i 9-elementowe

Izomorficzna z grupą afiniczną na przestrzeni C₃ × C₃.

• 3²:(2.S₄), imprymitywna na 4 zbiorach 3-elementowych

Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu

• S₅ × 2, rząd 240, podwójnie imprymitywna, 6 na 2

Centralizator sześciokrotnej transpozycji

• Q:S₄, rząd 192, orbity 4- i 8-elementowe

Centralizator poczwórnej transpozycji

• 4²:(2 × S₃), rząd 192, imprymitywna na 3 zbiorach 4-elementowych
• A₄ × S₃, rząd 72, podwójnie imprymitywna, 4 na 3

Podgrupy maksymalne M₁₁

Istnieje 5 klas sprzężoności podgrup maksymalnych

• M₁₀, rząd 720, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 11
• PSL(2,11), rząd 660, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 12
• M₉:2, rząd 144, stabilizator rozbić 9- i 2-elementowego.
• S₅, rząd 120, orbity 5- i 6-elementowe

Stabilizator bloku w systemie Steinera S(4,5,11)

• Q:S₃, rząd 48, orbity 8- i 3-elementowe

Centralizator poczwórnej transpozycji

Izomorficzna z GL(2,3).

Liczba elementów według rzędu

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M₁₁ wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie.

Rząd	Liczba elementów	Sprzężoność
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	165 = 3 · 5 · 11	1 klasa
3 = 3	440 = 23 · 5 · 11	1 klasa
4 = 22	990 = 2 · 32 · 5 · 11	1 klasa
5 = 5	1584 = 24 · 32 · 11	1 klasa
6 = 2 · 3	1320 = 23 · 3 · 5 · 11	1 klasa
8 = 23	1980 = 22 · 32 · 5 · 11	2 klasy (równoważne potęgowo)
11 = 11	1440 = 25 · 32 · 5	2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M₁₂ wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie.

Rząd	Liczba elementów	Sprzężoność
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	891 = 34 · 11	2 klasy (nierównoważne potęgowo)
3 = 3	4400 = 24 · 52 · 11	2 klasy (nierównoważne potęgowo)
4 = 22	5940 = 22 · 33 · 5 · 11	2 klasy (nierównoważne potęgowo)
5 = 5	9504 = 25 · 33 · 11	1 klasa
6 = 2 · 3	23 760 = 24 · 33 · 5 · 11	2 klasy (nierównoważne potęgowo)
8 = 23	23 760 = 24 · 33 · 5 · 11	2 klasy (nierównoważne potęgowo)
10 = 2 · 5	9504 = 25 · 33 · 11	1 klasa
11 = 11	17 280 = 27 · 33 · 5	2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M₂₂ wynosi 11.

Rząd	Liczba elementów	Sprzężoność
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	1155 = 3 · 5 · 7 · 11	1 klasa
3 = 3	12 320 = 25 · 5 · 7 · 11	1 klasa
4 = 22	13 860 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11	1 klasa
	27 720 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11	1 klasa
5 = 5	88 704 = 27 · 32 · 7 · 11	1 klasa
6 = 2 · 3	36 960 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11	1 klasa
7 = 7	126 720 = 28 · 32 · 5 · 11	2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23	55 440 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11	1 klasa
11 = 11	80 640 = 28 · 32 · 5 · 7	2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M₂₃ wynosi 23.

Rząd	Liczba elementów	Sprzężoność
1 = 1	1 = 1	1 klasa
2 = 2	3795 = 3 · 5 · 11 · 23	1 klasa
3 = 3	56 672 = 25 · 7 · 11 · 23	1 klasa
4 = 22	318 780 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	1 klasa
5 = 5	680 064 = 27 · 3 · 7 · 11 · 23	1 klasa
6 = 2 · 3	850 080 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23	1 klasa
7 = 7	1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23	2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23	1 275 120 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	1 klasa
11 = 11	1 854 720 = 28 · 32 · 5 · 7 · 23	2 klasy (równoważne potęgowo)
14 = 2 · 7	1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23	2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5	1 360 128 = 28 · 3 · 7 · 11 · 23	2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23	887 040 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11	2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M₂₄ wynosi 23. Jest 26 klas sprzężoności. Zachodzi intrygująca zbieżność z liczbą 26 sporadycznych grup prostych. Grupa M₂₄ zdaje się być szczególna, nawet jak na grupę sporadyczną, być może istnieje ciekawe połączenie tych faktów.

Rząd	Liczba elementów	Struktura cykli i sprzężoność
1 = 1	1	1 klasa
2 = 2	11 385 = 32 · 5 · 11 · 23	28, 1 klasa
	31 878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23	212, 1 klasa
3 = 3	226 688 = 27 · 7 · 11 · 23	36, 1 klasa
	485 760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 23	38, 1 klasa
4 = 22	637 560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	2444, 1 klasa
	1 912 680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	2244, 1 klasa
	2 550 240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	46, 1 klasa
5 = 5	4 080 384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23	54, 1 klasa
6 = 2 · 3	10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	223262, 1 klasa
	10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	2444, 1 klasa
7 = 7	11 658 240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23	73, 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23	15 301 440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23	2·4·82, 1 klasa
10 = 2 · 5	12 241 152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23	22102, 1 klasa
11 = 11	22 256 640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 23	112, 1 klasa
12 = 22 · 3	20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	2 ·4·6·12, 1 klasa
	20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23	122, 1 klasa
14 = 2 · 7	34 974 720 = 210 · 33 · 5 · 11 · 23	2·7·14, 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5	32 643 072 = 211 · 32 · 7 · 11 · 23	3·5·15, 2 klasy (równoważne potęgowo)
21 = 3 · 7	23 316 480 = 211 · 32 · 5 · 11 · 23	3·21, 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23	21 288 960 = 211 · 33 · 5 · 7 · 11	23, 2 klasy (równoważne potęgowo)

Bibliografia

• R.T. Curtis A new combinatorial approach to M₂₄. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 79 (1976) 25-42.
• John Horton Conway; R.T. Curtis; Simon P. Norton; R.A. Parker; Robert Arnott Wilson (1985). Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J.G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0.
• Mark Ronan „Symmetry and the Monster”, Oxford University Press (2006) ISBN 0-19-280722-6 (wprowadzenie dla laika opisującego grupy Mathieu w kontekście historycznym)

Linki zewnętrzne

• Moggie – aplet Javy pomocny w badaniu konstrukcji MOG Curtisa
• Scientific American – zestaw zagadek opracowanych na podstawie matematyki grup Mathieu
• Oktada tygodnia
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mathieu Groups, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).