Grupa Mathieu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Grupa Mathieu – jedna z pięciu skończonych grup prostych odkrytych i opisanych przez francuskiego matematyka Émile'a Léonarda Mathieu w jego pracach z lat 1861[1] i 1873[2]; były to pierwsze odkryte sporadyczne grupy proste. Zwykle oznacza się je symbolami M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24} i można o nich myśleć jako o grupach permutacji zbiorów odpowiednio 11, 12, 22, 23, czy 24 elementów (punktów).

Czasami, do oznaczenia podobnych grup (działających odpowiednio na zbiorach 7-, 8-, 9-, 10-, 19-, 20- i 21-punktowych), mianowicie stabilizatorów punktów w większych grupach, stosuje się symbole M_7, M_8, M_9, M_{10}, M_{19}, M_{20} oraz M_{21}. Choć nie są sporadycznymi grupami prostymi, podgrupy te są istotne ze względu na to, iż mogą służyć do konstruowania większych[a]. Z drugiej strony John Conway zasugerował, że można rozszerzyć ten ciąg poprzez uogólnienie piętnastki, gdzie uzyskuje się podzbiór podgrupy symetrycznej zbioru 13-punktowego oznaczany M_{13}.[3][4]

Największa z grup, M_{24}, która zwiera wszystkie inne, zawiera się w grupie symetrii kodu binarnego Golaya, który ma zastosowania praktyczne. Co więcej, grupy Mathieu stanowią fascynację wielu badaczy teorii grup jako anomalie matematyczne.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Grupy proste definiuje się jako grupy bez nietrywialnych podgrup normalnych właściwych. Intuicyjnie oznacza to, że nie można ich rozbić na iloczyny mniejszych grup. Przez wiele lat dążono do sklasyfikowania grup prostych, aż wreszcie udało się to zrobić około 1980 roku. Grupy proste należą do wielu nieskończonych rodzin z wyjątkiem 26 grup, wśród których są także grupy Mathieu, nazywanych sporadycznymi grupami prostymi. Po opisaniu grup Mathieu nie udało się znaleźć nowych sporadycznych grup prostych aż do roku 1965, kiedy to odkryto grupę J1.

Grupy wielokrotnie przechodnie[edytuj | edytuj kod]

Mathieu był zainteresowany opisaniem grup permutacji wielokrotnie przechodnich (wielokrotnie tranzytywnych), które zostaną teraz zdefiniowane. Dla liczby naturalnej k grupa permutacji G działająca na zbiorze n-punktowym jest k-przechodnia (k-tranzytywna), jeżeli dla danych dwóch zbiorów punktów a_1, \dots, a_k oraz b_1, \dots, b_k o takiej własności, że a_i są różne i b_i są różne, istnieje element g grupy G, który odwzorowuje a_i na b_i dla każdego i = 1, \dots, k. Taka grupa nazywana jest ściśle k-przechodnią (ściśle k-tranzytywną), jeżeli istnieje wyłącznie jeden element g o tej własności (tzn. działanie na k-tkach jest regularne, a nie tylko przechodnie).

Grupa M_{24} jest 5-przechodnia, zaś M_{12} jest grupą ściśle 5-przechodnią, przy czym pozostałe grupy Mathieu (proste lub nie) są podgrupami odpowiadającym stabilizatorom zbiorów m-punktowych o odpowiednio niższej przechodniości (M23 jest 4-przechodnia, itd.).

Jedynymi grupami 4-przechodnimi są grupy symetryczne S_k dla k \geqslant 4, grupy alternujące A_k dla k \geqslant 6 i grupy Mathieu M_{24}, M_{23}, M_{12}, M_{11}. Pełny dowód wymaga klasyfikacji skończonych grup prostych, ale niektóre przypadki szczególne były znane przed jej opracowaniem.

Klasycznym wynikiem Jordana jest fakt, że grupy symetryczne i alternujące (odpowiednio stopni k i k − 2) oraz grupy M_{12} i M_{11} są jedynymi ściśle k-przechodnimi grupami permutacji dla k równych co najmniej 4.

Ważnymi przykładami grup wielokrotnie przechodnich są grupy 2-przechodnie i grupy Zassenhausa. Grupy Zassenhausa zawierają rzutową ogólną grupę liniową (ang. projective general linear group) prostej rzutowej nad ciałem skończonym, \operatorname{PGL}(2, F_q), która jest ściśle 3-przechodnia (zob. dwustosunek) na zbiorze (q+1)-elementowym.

Rząd i tabela przechodniości[edytuj | edytuj kod]

Grupa Rząd Rząd (iloczyn) Rozkład rzędu Przechodniość Prostota
M_{24} 244 823 040 3· 16 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 210 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 5-przechodnia prosta
M_{23} 10 200 960 3 · 16 · 20 · 21 · 22 · 23 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 4-przechodnia prosta
M_{22} 443 520 3 · 16 · 20 · 21 · 22 27 · 32 · 5 · 7 · 11 3-przechodnia prosta
M_{21} 20 160 3 · 16 · 20 · 21 26 · 32 · 5 · 7 · 11 2-przechodnia prosta
M_{20} 960 3 · 16 · 20 26 · 3 · 5 1-przechodnia nieprosta
M_{19} 48 3 · 16 24 · 3 0-przechodnia[b] nieprosta
 
M_{12} 95 040 8 · 9 · 10 · 11 · 12 26 · 33 · 5 · 11 ściśle 5-przechodnia prosta
M_{11} 7920 8 · 9 · 10 · 11 24 · 32 · 5 · 11 ściśle 4-przechodnia prosta
M_{10} 720 8 · 9 · 10 24 · 32 · 5 ściśle 3-przechodnia nieprosta
M_9 72 8 · 9 23 · 32 ściśle 2-przechodnia nieprosta
M_8 8 8 23 ściśle 1-przechodnia nieprosta
M_7 1 1 1 ściśle 0-przechodnia nieprosta

Konstrukcje grup Mathieu[edytuj | edytuj kod]

Grupy Mathieu mogą być skonstruowane na wiele sposobów.

Grupy permutacji[edytuj | edytuj kod]

Grupa M_{12} ma podgrupę prostą rzędu 660 będącą zarazem podgrupą maksymalną. Podgrupa ta może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków jedenastoelementowego ciała F_{11}. Jeżeli a oznacza -1, zaś b – nieskończoność, to dwoma standardowymi generatorami są (0123456789a) oraz (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Trzeci generator, dający M_{12}, odwzorowuje element x ciała F_{11} na 4x^2 - 3x^7; w zapisie permutacyjnym jest to (26a7)(3945). Stabilizatorem czterech punktów jest grupa kwaternionów.

Podobnie M_{24} jest maksymalna podgrupa prosta rzędu 6072, która może być reprezentowana jako liniowa grupa ułamków ciała F_{23}. Jeden generator dodaje jedynkę do każdego z elementów (nie poruszając punktu N w nieskończoności), tzn. jest to

(0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N),

drugim jest permutacja odwracająca porządek,

(0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI).

Trzeci generator, dający M_{24} odwzorowuje element x ciała F_{23} na 4x^4 - 3x^{15}; nieciekawe obliczenia pokazują, że jako permutacja jest to element

(2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Konstrukcje te są cytowane za Carmichaelem[5]; Dixon i Mortimer przypisują permutacje Mathieu[6].

Grupy automorfizmów systemów Steinera[edytuj | edytuj kod]

Istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera W_{24} (geometria Witta) typu S(5, 8, 24). Grupa M_{24} jest grupą automorfizmów tego systemu Steinera; tzn. zbiór permutacji, które przekształcają każdy blok na inny. Podgrupy M_{23} i M_{22} są zdefiniowane jako stabilizatory odpowiednio jednego oraz dwóch punktów.

Podobnie, istnieje, co do równoważności, dokładnie jeden system Steinera W_{12} typu S(5, 6, 12), a grupa M_{12} jest jej grupą automorfizmów. Podgrupa M_{11} jest stabilizatorem punktu.

M24 z PSL(3,4)[edytuj | edytuj kod]

Grupę M_{24} można skonstruować wychodząc od \operatorname{PSL}(3, 4); jest to jedno z niezwykłych zjawisk matematyki.

Dobrym zaczątkiem dla M_{24} jest \operatorname{PSL}(3, 4), rzutowa specjalna grupa liniowa (ang. projective special linear group) przestrzeni trójwymiarowej nad skończonym ciałem 4-elementowym[7], oznaczana również M_{21}, która działa na płaszczyźnie rzutowej nad ciałem F_4, systemem typu S(2, 5, 21) oznaczany W_{21}. Jego 21 bloków nazywa się prostymi. Dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie.

Grupa M_{21} ma 168 podgrup prostych rzędu 360 i 360 podgrup prostych rzędu 168. W większej rzutowej ogólnej grupie liniowej (ang. projective general linear group) \operatorname{PGL}(3, 4) oba zbiory podgrup tworzą klasy sprzężoności, ale w M_{21} oba zbiory rozpadają się na trzy klasy sprzężoności. Podgrupy mają odpowiednio orbity długości 6, nazywane hiperowalami, i orbity długości 7, nazywane podpłaszczyznami Fano. Zbiory te umożliwiają tworzenie nowych bloków dla większych systemów Steinera. M_{21} jest normalna w \operatorname{PGL}(3, 4), indeksu 3. \operatorname{PGL}(3, 4) ma automorfizm zewnętrzny indukowany przez transponowanie elementów sprzężonych w F_4 (automorfizm ciała). Grupa \operatorname{PGL}(3, 4) może być więc rozszerzona do grupy \operatorname{P\Gamma L}(3, 4) rzutowych przekształceń półtoraliniowych, która jest rozszczepieniem M_{21} przez grupę symetryczną S_3. Okazuje się, że \operatorname{P\Gamma L}(3, 4) można włożyć jako podgrupę maksymalną w M_{24}.[8]

Hiperowal nie ma takich trzech punktów, które byłyby współliniowe. Podpłaszczyzna Fano spełnia w podobny sposób odpowiednie warunki jednoznaczności.

Do W_{21} należy dodać trzy nowe punkty i pozwolić automorfizmom \operatorname{P\Gamma L}(3, 4), ale nie automorfizmom M_{21} na permutowanie nowych punktów. System W_{22} typu S(3, 6, 22) powstaje przez dodanie jeszcze tylko jednego punktu do każdej z 21 prostych, a nowe bloki są 56 hiperowalami sprzężonymi ze względu na M_{21}.

System typu S(5, 8, 24) miałby 759 bloków lub oktad. Należy dołączyć do całości trzy nowe punkty do każdej prostej W_{21}, jeszcze jeden nowy punkt do podpłaszczyzn Fano w każdym ze 120 zbiorów i dołączyć odpowiednie pary nowych punktów do wszystkich hiperowali. Do pełnej liczby oktad brakuje 210. Brakujące oktady to podzbiory W_{21} będące różnicami symetrycznymi par prostych. Istnieje wiele sposobów rozszerzenia grupy \operatorname{P\Gamma L}(3, 4) do M_{24}.

W12[edytuj | edytuj kod]

Grupę W12 można skonstruować opierając się na geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej F_3 \times F_3, system typu S(2, 3, 9).

Inną konstrukcją W_{12} jest Kitten (dosł. kociak) R. T. Curtisa[9].

Programy komputerowe[edytuj | edytuj kod]

Powstawały też warte uwagi programy komputerowe generujące systemy Steinera. Wprowadzenie do konstrukcji W_{24} poprzez Miracle Octad Generator R. T. Curtisa i analog Conwaya dla W_{12}, miniMOG, można znaleźć w książce Conwaya i Sloane'a[10].

Grupa automorfizmów kodu Golaya[edytuj | edytuj kod]

Grupa M_{24} jest zarazem grupą permutacji automorfizmów kodu binarnego Golaya W, tzn. grupą permutacji współrzędnych odwzorowujących W na siebie. Słowa kodowe odpowiadają w naturalny sposób podzbiorom zbioru 24-elementowego. Wspomniane podzbiory odpowiadające słowom kodowym o 8 lub 12 współrzędnych równych 1 nazywane są odpowiednio oktadami i dodekadami. Oktady są blokami systemu Steinera S(5, 8, 24), a kod binarny Holaya jest przestrzenią liniową nad ciałem dwuelementowym rozpinanym przez oktady systemu Steinera. Pełna grupa automorfizmów kodu binarnego ma rząd 2^{12} |M_{24}|, gdyż istnieje |M_{24}| permutacji i 2^{12} zmian znaków. Można to przedstawić jako permutacja i odbijanie współrzędnych wierzchołków 24-wymiarowej kostki.

Podgrupy proste M_{23}, M_{22}, M_{12} i M_{11} mogą być zdefiniowane jako podgrupy M_{24}, odpowiednio jako stabilizatory: jednej współrzędnej, uporządkowanej pary współrzędnych, dodekady i dodekady wraz z jedną współrzędną.

Grupa M_{12} jest indeksu 2 w swojej grupie automorizmów. Jako podgrupa M_{24} grupa M_{12} działa na drugiej dodekadzie jako obraz automorfizmów zewnętrzych swojego działania na pierwszej dodekadzie. M_{11} jest podgrupą M_{23}, lecz nie M_{22}. Ta reprezentacja M_{11} ma orbity 11- i 12-elementowe. Grupa automorfizmów M_{12} jest podgrupą maksymalną M_{24} indeksu 1288.

Istnieje naturalny związek między grupami Mathieu i większymi grupami Conwaya, gdyż tak kod binarny Golaya, jak i krata Leecha leżą w przestrzeniach wymiaru 24. Grupy Conwaya można z kolei znaleźć w grupie Monster. Robert Griess nazywa 20 grup sporadycznych, które można znaleźć w grupie Monster szczęśliwą rodzinką (ang. Happy Family), a grupy Mathieu – pierwszym pokoleniem (ang. first generation)[11].

Dessins d'enfants[edytuj | edytuj kod]

Grupy Mathieu można skonstruować poprzez dessins d'enfants, z M_{12} w roli dessin o sugestywnej nazwie „Monsieur Mathieu”[12].

Symetrie wielościanów[edytuj | edytuj kod]

Grupa M24 może być skonstruowana z symetrii kwadryki Kleina powiększonej o (niegeometryczną) symetrię jej zanurzenia jako szescioośmiościanu małego.

Grupę M_{24} można skonstruować wychodząc od symetrii kwadryki Kleina (symetrie tesselacji powierzchni o genusie 3), mianowicie grupy \operatorname{PSL}(2,7), która może być powiększona o dodatkową permutację. Permutację tę można opisać wychodząc od parkietażu kwadryki Kleina 20 trójkątami (o 24 wierzchołkach – zbiorze 24-punktowym, na którym działa grupa), następnie tworząc kwadraty z pewnych dwóch trójkątów, sześciokąty z 6 trójkątów, z dołączoną permutacją będącą „zamianą dwóch końców dwusiecznych kwadratów i sześciokątów”. Można to przedstawić przez kolorowanie trójkątów – odpowiadający kafelkowanie jest topologicznie, ale nie geometrycznie kafelkowaniem t0,1{4, 3, 3} i może być (wielościennie) zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej jako szescioośmiościan mały (który również ma 24 wierzchołki)[13].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Grupy Mathieu mają fascynujące własności; grupy są wynikiem współwystępowania kilku anomalii w teorii grup.

Na przykład M_{12} zawiera egzemplarz wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego grupy S_6. Grupa M_{12} zawiera podgrupę izomorficzną z S_6 działającą w różny sposób na dwóch zbiorach 6-elementowych. Z kolei M_{12} ma automorfizm zewnętrzny indeksu 2 i, jako podgrupa M_{24}, działa w różny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych.

Należy zauważyć M_{10} jest rozszerzeniem nierozszczepiającym postaci A_6.2 (rozszerzenie grupy rzędu 2 przez A6), i odpowiednio A_6 może być oznaczana symbolem M_{10}', gdyż jest to podgrupa indeksu 2 grupy M_{10}.

Grupa liniowa GL(4, 2) ma izomorfizm wyjątkowy (ang. exceptional isomorphism) w grupę alternującą A_8; izomorfizm ten jest istotny ze względu na strukturę M_{24}. Stabilizator punktowy O oktady jest grupą abelową rzędu 16 o wykładniku 2, a każda z jego inwolucji porusza wszystkie 16 punktów poza oktadę. Stabilizator oktady jest rozszczepieniem O przez A_8.[14] Istnieje 759 (= 3 · 11 · 23) oktad. Stąd rząd M_{24} wynosi 759 · 16 · 20160.

Reprezentacja macierzowa w GL(11, 2)[edytuj | edytuj kod]

Kod binarny Golaya jest przestrzenią liniową wymiaru 12 nad F_2. Punkty stałe ze względu na M24 tworzą podprzestrzeń złożoną z dwóch wektorów, których współrzędne złożone są z samych 0 bądź 1. Przestrzeń ilorazowa, wymiaru 11, rzędu 211, może być skonstruowana jako zbiór podziałów 24 bitów na pary słów kodowych Golaya. Intrygującą rzeczą jest to, że liczba niezerowych wektorów, 211−1 = 2047, jest najmniejszą liczbą Mersenne'a o wykładniku pierwszym, która nie jest liczbą pierwszą i ma rozkład 23 · 89. Następnie |M_{24}| dzieli |\operatorname{GL}(11,2)| = 2^{55} \cdot 3^6 \cdot 5^2 \cdot 7^3 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 23 \cdot 73 \cdot 89.

Grupa M23 również wymaga wymiaru 11.

Grupy M22, M12 oraz M11 mają reprezentację w GL(10, 2).

Podgrupa sekstetów grupy M24[edytuj | edytuj kod]

Tetradą nazywa się dowolny zbiór 4 punktów systemu Steinera W_{24}. Oktada wyznaczona jest przez wybranie pięciu z pozostałych 20 punktów. Istnieje 5 możliwych oktad. Stąd dowolna tetrada wyznacza podział na 6 tetrad, nazywanych sekstetami, których stabilizator w M_{24} nazywany jest grupą sekstetów.

Całkowita liczba tetrad to 24 · 23 · 22 · 21/4! = 23 · 22 · 21. Podzielenie tej liczby przez 6 daje liczbę sekstetów, 23 · 11 · 7 = 1771. Więcej, grupa sekstetów to podgrupa splotu rzędu 6! · (4!)6, którego jedynymi dzielnikami pierwszymi są 2, 3 oraz 5. Są to dzielniki pierwsze |M_{24}|. Dalsza analiza dałaby rząd grupy sekstetów, a stąd |M_{24}|.

Dogodnie jest umieścić 24 punkty w tablicy 6 × 4:

\begin{matrix} A & E & I & M & Q & U \\ B & F & J & N & R & V \\ C & G & K & O & S & W \\ D & H & L & P & T & X \end{matrix}

Wygodnie jest także użyć elementów ciała F_4 do numerowania wierszy: 0, 1, u, u2.

Grupa sekstetów ma abelową podgrupę normalną H rzędu 64, izomorficzną z heksakodem, przestrzenią liniową długości 6 i wymiaru 3 nad F_4. Niezerowy element H wykonuje podwójną transpozycję w 4 lub 6 kolumnach. Jego działanie może być postrzegane jako dodawanie współrzędnych wektora do liczb w wierszach.

Grupa sekstetów jest rozszczepieniem H przez grupę 3.S_6 (rozszerzenie stem, ang. stem extension). Poniżej znajduje się przypadek w grupach Mathieu, gdzie grupa prosta (A6) jest podilorazem, ale nie podgrupą. 3.S_6 jest normalizatorem w M_{24} podgrupy generowanej przez

r = (BCD)(FGH)(JKL)(NOP)(RST)(VWX),

który może być interpretowany jako mnożenie liczb w rzędach przez u2. Podgrupa 3.A_6 jest centralizatorem \langle r \rangle. Generatorami 3.A_6 są:

(AEI)(BFJ)(CGK)(DHL)(RTS)(VWX) (obrót trzech pierwszych kolumn),
(AQ)(BS)(CT)(DR)(EU)(FX)(GV)(HW),
(AUEIQ)(BXGKT)(CVHLR)(DWFJS) (iloczyn dwóch powyższych),
(FGH)(JLK)(MQU)(NRV)(OSW)(PTX) (obrót trzech ostatnich kolumn).

Parzysta permutacja kolumn, np. (CD)(GH)(KL)(OP)(QU)(RV)(SX)(TW), generuje 3.S_6.

Grupa 3.A_6 jest izomorficzna z podgrupą \operatorname{SL}(3, 4), której obraz w \operatorname{PSL}(3, 4) został opisany wyżej jako grupa hiperowali.

Aplet Moggie ma funkcję wyświetlania sekstetów w kolorze.

Struktura podgrup[edytuj | edytuj kod]

Grupa M24 zawiera nieabelowa podgrupy proste 13 typów izomorfizmów: pięć klas A5, cztery klasy PSL(3,2), dwie klasy A6, dwie klasy PSL(2,11), po jednej klasie A7, PSL(2,23), M11, PSL(3,4), A8, M12, M22, M23 oraz M24.

Podgrupy maksymalne M24[edytuj | edytuj kod]

Robert T. Curtis przedstawił pełny opis maksymalnych podgrup grupy M24 w 1977[15], co błędnie zaanonsowano wcześniej w 1972 roku[16][17].

Lista przedstawia się następująco:[8]

  • M23, rząd 10 200 960,
  • M22:2, rząd 887 040, orbity 2- i 22-elementowe,
  • 24:A8, rząd 322 560, orbity 8- i 16-elementowe: grupa oktad
  • M12:2, rząd 190 080, przechodnia i imprymitywna: grupa dodekad
Egzemplarz M12 działający w inny sposób na dwóch zbiorach 12-elementowych, odzwierciedlający automorfizm zewnętrzny M12
  • 26:(3.S6), rząd 138 240: grupa sekstetów (zob. wyżej)
  • PSL(3,4):S3, rząd 120 960, orbity 3- i 21-elementowe
  • 26:(PSL(3,2) × S3), rząd 64 512, przechodnia i imprymitywna: grupa trójek (ang. trio group)
Stabilizator rozbicia na 3 oktady
  • PSL(2,23), rząd 6 072: podwójnie przechodnie
  • Grupa ósemkowa, rząd 168, prosta, przechodnia i imprymitywna, 8 bloków trójelementowych
Ostatnia znaleziona podgrupa maksymalna M24.
7-elementowe podzbiory tej grupy dzielą się na 2 klasy sprzężoności zbiorów 24-elementowych.

Podgrupy maksymalne M23[edytuj | edytuj kod]

  • M22, rząd 443 520
  • PSL(3,4):2, rząd 40 320, orbity 21- i 2- elementowe
  • 24:A7, rząd 40 320, orbity 7- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W23
  • A8, rząd 20 160, orbity 8- i 15-elementowe
  • M11, rząd 7 920, orbity 11- i 12-elementowe
  • (24:A5):S3 lub M20:S3, rząd 5 760, orbity 3- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
Jednopunktowy stablizator grupy sekstetów
  • 23:11, rząd 253, regularna

Podgrupy maksymalne M22[edytuj | edytuj kod]

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 22-elementowym zbiorze.

  • PSL(3,4) lub M21, rząd 20160: jednopunktowy stabilizator
  • 24:A6, rząd 5760, orbity 6- i 16-elementowe
Stabilizator bloku W22
  • A7, rząd 2520, orbity 7- i 15-elementowe
  • A7, orbity 7- i 15-elementowe
  • 24:S5, rząd 1920, orbity 2- i 20-elementowe (5 bloków 4-elementowych)
2-punktowy stabilizator w grupie sekstetów
  • 23:PSL(3,2), rząd 1344, orbity 8- i 14-elementowe
  • M10, rząd 720, orbity 10- i 12-elementowe (2 bloki 6-elementowe)
Jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 11-elementowej)
nierozszczepione rozszerzenie postaci A6.2
  • PSL(2,11), rząd 660, dwie orbity 11-elementowe
Kolejny jednopunktowy stabilizator M11 (punkt w orbicie 12-elementowej)

Podgrupy maksymalne M21[edytuj | edytuj kod]

Nie istnieją podgrupy właściwe przechodnie na całym 21-elementowym zbiorze.

  • 24:A5 lub M20, rząd 960: stabilizator jednopunktowy
Imprymitywna na 5 blokach 4-elementowych
  • 24:A5, transpozycja M20, orbity 5- i 16-elementowe
  • A6, rząd 360, orbity 6- i 15-elementowe: grupa hiperowali
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • A6, orbity 6- i 15-elementowe
  • PSL(3,2), rząd 168, orbity 7- i 14—elementowe: grupa podpłaszczyzny Fano
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • PSL(3,2), orbity 7- i 14-elementowe
  • 32:Q lub M9, rząd 72, orbity 9- i 12-elementowe

Podgrupy maksymalne M12[edytuj | edytuj kod]

Istnieje 11 klas sprzężoności podgrup maksymalnych, 6 występujących w automorficznych parach.

  • M11, rząd 7920, stopień 11
  • M11, stopień 12
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S6:2, rząd 1440, imprymitywna i przechodnia, 2 bloki 6-elementowe
Przykład wyjątkowego automorfizmu zewnętrznego S6
  • M10.2, rząd 1440, orbity 2- i 10-elementowe
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • PSL(2,11), rząd 660, podwójnie przechodnia na zbiorze 12-punktowym
  • 32:(2.S4), rząd 432, orbity 3- i 9-elementowe
Izomorficzna z grupą afiniczną na przestrzeni C3 × C3.
  • 32:(2.S4), imprymitywna na 4 zbiorach 3-elementowych
Obraz automorfizmu zewnętrznego poprzedniego typu
  • S5 × 2, rząd 240, podwójnie imprymitywna, 6 na 2
Centralizator sześciokrotnej transpozycji
  • Q:S4, rząd 192, orbity 4- i 8-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
  • 42:(2 × S3), rząd 192, imprymitywna na 3 zbiorach 4-elementowych
  • A4 × S3, rząd 72, podwójnie imprymitywna, 4 na 3

Podgrupy maksymalne M11[edytuj | edytuj kod]

Istnieje 5 klas sprzężoności podgrup maksymalnych

  • M10, rząd 720, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 11
  • PSL(2,11), rząd 660, jednopunktowy stabilizator w reprezentacji stopnia 12
  • M9:2, rząd 144, stabilizator rozbić 9- i 2-elementowego.
  • S5, rząd 120, orbity 5- i 6-elementowe
Stabilizator bloku w systemie Steinera S(4,5,11)
  • Q:S3, rząd 48, orbity 8- i 3-elementowe
Centralizator poczwórnej transpozycji
Izomorficzna z GL(2,3).

Liczba elementów według rzędu[edytuj | edytuj kod]

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M11 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[18].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 165 = 3 · 5 · 11 1 klasa
3 = 3 440 = 23 · 5 · 11 1 klasa
4 = 22 990 = 2 · 32 · 5 · 11 1 klasa
5 = 5 1584 = 24 · 32 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 1320 = 23 · 3 · 5 · 11 1 klasa
8 = 23 1980 = 22 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
11 = 11 1440 = 25 · 32 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M12 wynosi 11. Rzędy i rozmiary klas sprzężoności można znaleźć w ATLASie[19].

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 891 = 34 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
3 = 3 4400 = 24 · 52 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
4 = 22 5940 = 22 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
5 = 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
8 = 23 23 760 = 24 · 33 · 5 · 11 2 klasy (nierównoważne potęgowo)
10 = 2 · 5 9504 = 25 · 33 · 11 1 klasa
11 = 11 17 280 = 27 · 33 · 5 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M22 wynosi 11.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 1155 = 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
3 = 3 12 320 = 25 · 5 · 7 · 11 1 klasa
4 = 22 13 860 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
27 720 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
5 = 5 88 704 = 27 · 32 · 7 · 11 1 klasa
6 = 2 · 3 36 960 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 1 klasa
7 = 7 126 720 = 28 · 32 · 5 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 55 440 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 1 klasa
11 = 11 80 640 = 28 · 32 · 5 · 7 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M23 wynosi 23.

Rząd Liczba elementów Sprzężoność
1 = 1 1 = 1 1 klasa
2 = 2 3795 = 3 · 5 · 11 · 23 1 klasa
3 = 3 56 672 = 25 · 7 · 11 · 23 1 klasa
4 = 22 318 780 = 22 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
5 = 5 680 064 = 27 · 3 · 7 · 11 · 23 1 klasa
6 = 2 · 3 850 080 = 25 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
7 = 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 1 275 120 = 24 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 1 klasa
11 = 11 1 854 720 = 28 · 32 · 5 · 7 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
14 = 2 · 7 1 457 280 = 27 · 32 · 5 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 1 360 128 = 28 · 3 · 7 · 11 · 23 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 887 040 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 2 klasy (równoważne potęgowo)

Maksymalny rząd dowolnego elementu w M24 wynosi 23. Jest 26 klas sprzężoności. Zachodzi intrygująca zbieżność z liczbą 26 sporadycznych grup prostych. Grupa M24 zdaje się być szczególna, nawet jak na grupę sporadyczną, być może istnieje ciekawe połączenie tych faktów.

Rząd Liczba elementów Struktura cykli i sprzężoność
1 = 1 1 1 klasa
2 = 2 11 385 = 32 · 5 · 11 · 23 28, 1 klasa
31 878 = 2 · 32 · 7 · 11 · 23 212, 1 klasa
3 = 3 226 688 = 27 · 7 · 11 · 23 36, 1 klasa
485 760 = 27 · 3 · 5 · 11 · 23 38, 1 klasa
4 = 22 637 560 = 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23

2444, 1 klasa

1 912 680 = 23 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2244, 1 klasa
2 550 240 = 25 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 46, 1 klasa
5 = 5 4 080 384 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 54, 1 klasa
6 = 2 · 3 10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 223262, 1 klasa
10 200 960 = 27 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2444, 1 klasa
7 = 7 11 658 240 = 210 · 32 · 5 · 11 · 23 73, 2 klasy (równoważne potęgowo)
8 = 23 15 301 440 = 26 · 33 · 5 · 7 · 11 · 23 2·4·82, 1 klasa
10 = 2 · 5 12 241 152 = 28 · 33 · 7 · 11 · 23 22102, 1 klasa
11 = 11 22 256 640 = 210 · 33 · 5 · 7 · 23 112, 1 klasa
12 = 22 · 3 20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 2 ·4·6·12, 1 klasa
20 401 920 = 28 · 32 · 5 · 7 · 11 · 23 122, 1 klasa
14 = 2 · 7 34 974 720 = 210 · 33 · 5 · 11 · 23 2·7·14, 2 klasy (równoważne potęgowo)
15 = 3 · 5 32 643 072 = 211 · 32 · 7 · 11 · 23 3·5·15, 2 klasy (równoważne potęgowo)
21 = 3 · 7 23 316 480 = 211 · 32 · 5 · 11 · 23 3·21, 2 klasy (równoważne potęgowo)
23 = 23 21 288 960 = 211 · 33 · 5 · 7 · 11 23, 2 klasy (równoważne potęgowo)

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. \scriptstyle M_8 jest grupą trywialną, zaś \scriptstyle M_{19} nie działa przechodnio na zbiorze 19-punktowym i 19 nie dzieli jej rzędu, przez co ciąg ten nie może być dalej rozszerzany w dół.
  2. \scriptstyle M_{19} działa nietrywialnie, lecz nieprzechodnio na zbiorze 19-punktowym i ma rząd \scriptstyle 3 \cdot 16; ponadto \scriptstyle 3 + 16 = 19. W istocie, ma 2 orbity: jedną rzędu 16, jedną rzędu 3 (2-podgrupa Sylowa działa regularnie na zbiorze 16-punktowym ustalając pozostałe 3, podczas gdy 3-podgrupa Sylowa permutuje 3 punkty ustalając orbitę rzędu 16). Szczegóły w C. Choi. On Subgroups of M24. I: Stabilizers of Subsets. „Transactions of the American Mathematical Society”, s. 1–27, May 1972a. American Mathematical Society. doi:10.2307/1996123. JSTOR 1996123. ; s. 4

Przypisy

  1. Émile Léonard Mathieu, Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables J. Math. Pures Appl. (Liouville) (2) VI, 1861, ss. 241-323
  2. E. Mathieu, Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités, Liouville Journ., (2) XVIII., 1873, ss. 25-47
  3. John H. Conway, „Graphs and Groups and M13”, uwagi z nowojorskiego 14. dnia teorii grafów (1987), ss. 18–29.
  4. John Horton Conway, Noam D. Elkies, Jeremy L. Martin. The Mathieu group M12 and its pseudogroup extension M13. „Experimental Mathematics”, s. 223–236, 2006. ISSN 1058-6458. MR2253008. 
  5. Carmichael, Robert D. Groups of Finite Order, Dover (1937, reprint 1956), ss. 151, 164, 263.
  6. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), s. 209.
  7. John D. Dixon i Brian Mortimer Permutation Groups, Springer-Verlag (1996), ss. 192-205
  8. 8,0 8,1 R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 55
  9. R. T. Curtis The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M12 and the 'Kitten' , Computational Group Theory, Academic Press, Londyn, 1984
  10. John Horton Conway; Sloane N.J.A. Sphere Packings, Lattices and Groups: v. 290 (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften.) Springer Verlag. ISBN 0-387-98585-9
  11. R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998.
  12. Monsieur Mathieu. 1 marca 2007..
  13. David A. Richter: How to Make the Mathieu Group M24. [dostęp 2010-04-15].
  14. Thomas M. Thompson: From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, Carus Mathematical Monographs, Mathematical Association of America, 1983, ss. 197-208.
  15. R. T. Curtis The maximal subgroups of M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81 (1977) 185-192
  16. C. Choi. On Subgroups of M24. II: the Maximal Subgroups of M24. „Transactions of the American Mathematical Society”, s. 29–47, May 1972b. American Mathematical Society. doi:10.2307/1996124. JSTOR 1996124. 
  17. R. L. Griess: Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998, s. 54
  18. ATLAS: Grupa Mathieu M11
  19. ATLAS: Grupa Mathieu M12

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R. T. Curtis A new combinatorial approach to M24. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 79 (1976) 25-42.
  • John Horton Conway; R. T. Curtis; Simon P. Norton; R. A. Parker; Robert Arnott Wilson (1985). Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0
  • Mark Ronan „Symmetry and the Monster”, Oxford University Press (2006) ISBN 0-19-280722-6 (wprowadzenie dla laika opisującego grupy Mathieu w kontekście historycznym)

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]