Grupa Prüfera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
2-grupa Prüfera. \scriptstyle \langle g_n\colon g_{n+1}^2 = g_n,\ g_1^2 = e\rangle.

Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – w teorii grup, dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.

\mathbb Z(p^\infty) = \left\{e^{2\pi i n/p^m}\colon n, m = 1, 2, 3, \dots\right\}.
  • Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy \mathbb Q/\mathbb Z składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga p:
\mathbb Z(p^\infty) = \mathbb Z[1/p]/\mathbb Z.
  • Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):
\mathbb Z(p^\infty) = \langle x_1, x_2, \dots \colon p x_1 = 0, p x_2 = x_1 , p x_3 = x_2 , \dots\rangle.
  • p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej k istnieje w niej podgrupa rzędu p^k.
\{0\} \subset \mathbb Z/p \subset \mathbb Z/p^2 \subset \mathbb Z/p^3 \subset \dots \subset \mathbb Z(p^\infty).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. D. L. Armacost, W. L. Armacost, On p-thetic groups, Pacific J. Math., 41, nr 2 (1972), ss. 295–301.